오산 고3 수학과외: 그림보다 법선벡터를 먼저 확인하는 평면 문제
오산고, 세마고, 세교고, 매홀고, 운천고, 성호고 등 오산의 여러 고등학교 학생을 지도할 때는 학교명을 기준으로 풀이를 단정하기보다 귀가 시각과 과제량, 시험 준비 순서를 함께 점검한다. 금암동·부산동·세교동·은계동·수청동처럼 생활권이 달라도, 평면 문제에서는 그림의 인상보다 식과 법선벡터의 관계를 먼저 확인하는 습관이 중요하다.
그림을 보고 평행하다고 판단한 순간
학생은 다음 두 평면의 위치관계와 거리를 구하는 문제에서 그림을 먼저 그렸다.
Π₁: x-2y+2z=3, Π₂: 2x-4y+4z=10
두 평면의 법선벡터는 각각 n₁=(1,-2,2), n₂=(2,-4,4)=2n₁이다. 따라서 두 평면은 평행하거나 일치한다. Π₁의 식을 2배 하면 2x-4y+4z=6이므로 Π₂와 같지 않다. 따라서 두 평면은 평행하고 서로 다르다.
학생의 오답: n₂=2n₁이므로 두 평면은 같은 평면이다.
이 식은 틀린 판단이다. 법선벡터가 비례한다는 사실만으로는 일치 여부를 결정할 수 없다. 상수항까지 같은 비율인지 확인해야 한다. Π₁을 2배 했을 때 상수항은 6인데 Π₂의 상수항은 10이므로 같은 평면이 아니다.
처음 틀린 줄만 표시해 수정하기
- 틀린 줄 표시: “법선벡터가 2배이므로 같은 평면”
- 관계 확인: 평면의 법선벡터가 비례하면 평행 또는 일치이며, 상수항의 비례 여부를 추가로 확인한다.
- 식 수정: Π₁을 2배한 식은 2x-4y+4z=6이므로 Π₂와 다르다.
- 결론: 두 평면은 평행하고, 두 평면 사이의 거리는 Π₁ 위의 점을 이용해 계산한다.
Π₁ 위의 점으로 A=(3,0,0)을 잡으면 Π₂의 좌변에 대입한 값은 6이다. 따라서 A에서 Π₂까지의 거리는
d=|6-10|/√(2²+(-4)²+4²)=4/6=2/3
이다. 법선벡터의 크기를 원래 Π₁의 법선벡터로 계산하면
d=|3-5|/√(1²+(-2)²+2²)=2/3
으로 같은 결과가 나온다. 학생은 정답 숫자만 옮기지 않고, 중간식 옆에 “법선벡터 비례 여부 → 상수항 비교 → 거리 공식”이라고 사용 규칙을 적었다. 마지막으로 두 식의 상수항 차이를 다시 대입해 계산 결과가 일치하는지도 확인했다.
정사영 조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 평면을 바꾸어 다음 문제를 풀었다.
Σ₁: 2x+y-2z=4, Σ₂: 4x+2y-4z=14
법선벡터는 m₁=(2,1,-2), m₂=(4,2,-4)=2m₁이다. Σ₁을 2배하면 4x+2y-4z=8이므로 두 평면은 일치하지 않고 평행하다. Σ₁ 위의 점 B=(2,0,0)을 사용하면 Σ₂의 좌변은 8이다.
따라서 거리의 정확한 값은
d=|8-14|/√(4²+2²+(-4)²)=6/6=1
이다. 학생은 이번에는 그림을 먼저 판단하지 않고 법선벡터를 적은 뒤, 상수항을 비교하고, 점을 대입하여 거리까지 검산했다. 정사영 방향도 평면의 법선 방향과 일치하는지 확인하여 처음의 판단 오류가 반복되지 않았는지 점검했다.