오산고1수학과외: 함숫값에서 원래 x를 찾는 법과 역함수 구별
오산의 고등학교에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 역함수 문제는 기호 하나를 잘못 읽어 풀이 방향이 바뀌기 쉽다. 특히 귀가 후 과제량이 많은 날에는 함숫값을 이용해 원래 입력값을 찾는 문제와 새로운 함수식을 구하는 역함수 문제를 같은 것으로 처리하지 않는지 확인해야 한다.
f⁻¹(x)는 1/f(x)가 아니다
함수 \(f(x)=\frac{2x-3}{5}\)에서 \(f(a)=7\)을 만족하는 \(a\)를 구해 보자.
주어진 식에 \(a\)를 넣으면
\(\frac{2a-3}{5}=7\)
이므로 \(2a-3=35\), \(2a=38\), 따라서 \(a=19\)이다. 여기서 한 일은 함수값 7을 만드는 입력값을 거꾸로 찾은 것이다. 역함수의 식을 구하지 않아도 답을 얻을 수 있다.
반면 역함수를 구하려면 \(y=f(x)\)에서 출발한다.
\[ y=\frac{2x-3}{5} \]
양변에 5를 곱하고 정리하면 \(5y=2x-3\), \(2x=5y+3\), 따라서 \(x=\frac{5y+3}{2}\)이다. 이제 \(x\)와 \(y\)를 바꾸면
\(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{2}\)
가 된다. 이는 \(\frac{1}{f(x)}=\frac{5}{2x-3}\)과 전혀 다른 식이다.
답안에서 사라진 x와 y의 교환
관찰된 풀이에서는 \(f^{-1}(x)\)를 보자마자 \(\frac{1}{f(x)}\)로 적고 다음 줄로 넘어갔다. 역함수라는 이름은 기억했지만, 원래 함수의 출력값을 다시 입력값으로 보내는 관계라는 점은 풀이에 나타나지 않은 상태다.
잘못된 처리: \(f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}=\frac{5}{2x-3}\)
이 식은 함수값의 역수가 필요한 경우에만 해당한다. 역함수에서는 \(y=f(x)\)의 두 변수 역할을 바꾸고, 바뀐 식을 다시 \(y\)에 관해 정리해야 한다.
두 방향을 실제 값으로 확인하기
앞에서 구한 \(f^{-1}(x)=\frac{5x+3}{2}\)에 \(x=7\)을 대입하면
\[ f^{-1}(7)=\frac{5\cdot7+3}{2}=\frac{38}{2}=19 \]
이다. 실제로 \(f(19)=\frac{2\cdot19-3}{5}=\frac{35}{5}=7\)이므로 두 식은 서로 반대 방향의 입력과 출력을 연결한다. 반면 잘못된 식에 따르면 \(\frac{1}{f(19)}=\frac17\)이 되어 원래 입력값 19가 나오지 않는다.
풀이 연습에서는 식을 계산하기 전에 \(y=f(x)\)를 한 줄 적고, \(x\leftrightarrow y\)를 표시한 뒤, 마지막에 \(y\)에 대해 정리한다. 이 세 줄이 실제 답안에 남아야 역함수 절차를 수행했는지 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 문제에서 절차를 확인하기
새 문제로 \(g(x)=\frac{3x+1}{4}\)의 역함수를 구하게 한다. 숫자 9를 불필요한 정보로 함께 제시해도 함수식만 골라내야 한다.
\[ y=\frac{3x+1}{4} \quad\Rightarrow\quad 4y=3x+1 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4y-1}{3} \]
따라서 \(g^{-1}(x)=\frac{4x-1}{3}\)이다. \(g^{-1}(10)=\frac{40-1}{3}=13\)이고, \(g(13)=\frac{39+1}{4}=10\)으로 확인된다. 이때 교사의 질문 없이 학생이 변수 교환과 재정리를 직접 적는지를 본다.
역산 검산으로 빠진 지수 찾기
별도 확인 단계에서는 소인수분해 결과를 거꾸로 곱하는 짧은 문항도 활용한다. 예를 들어 \(72=2^3\cdot3^2\)라고 적었다면 \(2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=72\)인지 확인한다. 만약 \(2^2\cdot3^2\)라고 적었다면 곱이 36이므로 \(2\)의 지수 하나가 빠졌음을 스스로 찾아야 한다.
역함수에서도 같은 방식으로 결과를 원래 관계에 되돌려 넣는다. 해결된 역함수 문제는 복습 목록에서 제외하되, 변수 교환을 생략하거나 역수로 처리한 문제만 남겨 다음 학습 순서를 정한다.