수청동 고2수학과외: 0/0 극한에서 유리화 조건부터 확인하기
오산시 수청동에서 매홀고등학교의 시험 범위와 평일 귀가 시간을 함께 고려해 극한 풀이를 점검하다 보면, 계산은 빠르지만 첫 줄의 조건을 놓치는 장면이 나타난다. 특히 제곱근이 포함된 0/0 형태에서는 결과를 서둘러 구하기보다 유리화가 실제로 가능한지 먼저 판단해야 한다.
√(x+1)-1을 바로 계산하면 생기는 빈칸
다음 극한을 살펴보자.
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \]
학생은 먼저 \(x=0\)을 대입해 \(\frac{0}{0}\)을 얻은 뒤, 분자에만 켤레식 \(\sqrt{x+1}+1\)을 곱한 식을 적었다.
\[ \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x} \]
이 식은 원래 식에 켤레식을 곱한 것이므로 같은 식이 아니다. 분모에도 같은 인수를 곱해야 하며, 유리화의 근거가 되는 제곱근의 정의역도 확인해야 한다. 여기서는 \(x+1\ge 0\), 즉 \(x\ge -1\)이고 \(x\to0\)에서 양쪽 방향으로 접근할 수 있다.
0/0은 답이 아니라 변형이 필요한 신호
\(x=0\)을 대입했을 때 0/0이 나온다는 것은 극한값이 0이라는 뜻이 아니다. 분자와 분모에 켤레식을 곱하면 다음과 같이 된다.
\[ \begin{aligned} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} &= \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)} {x(\sqrt{x+1}+1)}\\ &= \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}\\ &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\quad(x\ne0). \end{aligned} \]
마지막 약분은 \(x\ne0\)인 근방에서 이루어진다. 극한에서는 \(x=0\)에서 원래 함수가 정의되는지가 아니라, 0에 가까운 \(x\)에서 식이 어떻게 변하는지가 중요하다. 따라서
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1} =\frac{1}{2} \]
이다. 유리화 뒤에도 \(x+1\ge0\)과 \(x\ne0\)이라는 성립 범위를 함께 남겨야 풀이가 완성된다.
한쪽에만 켤레식을 쓴 풀이를 고치는 순서
답안에는 다음 세 가지를 나란히 적도록 한다.
- 대입 결과: \(0/0\)이므로 바로 결론을 내리지 않는다.
- 정의 조건: \(x+1\ge0\), 접근 근방에서는 \(x\ne0\).
- 변형: 분자와 분모에 모두 \(\sqrt{x+1}+1\)을 곱한다.
즉, 첫 줄을
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} \]
처럼 기록하면 켤레식이 한쪽에만 등장하는 오류를 막을 수 있다. 이후 \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)를 적용하고, 약분할 수 있는 조건 \(x\ne0\)을 확인한다.
항의 순서가 바뀌어도 유리화 구조를 찾는가
다음 식을 같은 방식으로 판단해 보자.
\[ \lim_{t\to0}\frac{t}{\sqrt{1+t}+1} \]
이 식은 분자와 분모를 억지로 유리화할 형태가 아니다. \(t\to0\)일 때 분자는 0으로 가고 분모는 2로 가므로
\[ \lim_{t\to0}\frac{t}{\sqrt{1+t}+1}=0 \]
이다. 반대로 항을 정리한
\[ \frac{\sqrt{1+t}-1}{t} \]
는 0/0 형태이므로 켤레식을 분자와 분모에 모두 곱해야 하며, 그 값은 \(\frac12\)이다. 식의 항 순서가 바뀌어도 먼저 대입하여 형태를 확인하고, 제곱근 차이가 분자에 남아 있을 때만 유리화를 선택하는지 확인해야 한다.
이처럼 극한 풀이에서는 계산 결과보다 \(0/0\) 판별, 제곱근의 정의역, 양쪽에 같은 켤레식을 곱하는 과정, 약분 조건을 순서대로 남기는 것이 중요하다. 매홀고등학교의 범위별 문제를 정리할 때도 이 네 부분이 답안에 모두 보이는지 확인하면 새로운 식에서도 풀이의 연결을 점검할 수 있다.