수청동 고3수학과외, 이면각을 그림의 선과 평면 관계로 판별하기
수청동에서 매홀고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습하던 학생은 이면각 문제를 계산보다 그림 해석에서 자주 놓쳤다. 답안 여백에는 두 평면 위에서 임의로 고른 두 직선의 각을 이면각이라고 적어 두었다.
임의의 두 직선으로 잰 각이 아닌 이유
두 평면 α, β가 직선 l에서 만날 때, 이면각은 두 평면이 이루는 각이다. 이를 평면 안에서 측정하려면 교선 l에 각각 수직인 두 직선을 잡아야 한다. 임의의 직선은 교선과 비스듬할 수 있으므로 그 사이의 각이 이면각을 나타낸다고 할 수 없다.
오답: 평면 α에서 직선 a, 평면 β에서 직선 b를 임의로 잡고 ∠(a,b)를 이면각으로 정함
이 식이 틀린 까닭은 a와 b가 두 평면의 교선 l에 수직이라는 조건이 빠졌기 때문이다. 따라서 학생이 쓴 “이면각 = 두 평면 위 임의의 두 직선의 각”은 성립하지 않는다.
그림에서 조건을 다시 세운 풀이
평면 α, β의 교선이 l이고, 점 P가 l 위에 있다고 하자. 평면 α에서 PA ⟂ l, 평면 β에서 PB ⟂ l이면 ∠APB가 두 평면의 이면각이다.
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 먼저 “두 선이 어느 평면에 있는가”, “두 선이 교선에 수직인가”를 확인했다. 그 뒤 임의의 직선 a,b를 사용하는 대신
l = α ∩ β, PA ⊂ α, PB ⊂ β, PA ⟂ l, PB ⟂ l
을 적은 다음, ∠APB를 이면각으로 수정했다. 예를 들어 ∠APB가 50°로 주어졌다면 이면각도 50°이다. 반대로 PA가 l과 30°를 이루고 있어도, 그것은 이면각을 측정하는 선이 아니므로 30°를 답으로 쓸 수 없다.
마지막에는 그림에서 PA와 PB를 각각 교선에 수직으로 표시하고, 두 직선이 서로 다른 평면에 놓였는지 역으로 확인했다. 이 검산을 거치자 맞힌 문제의 기억이 아니라 ‘교선과의 수직 관계’가 새 문제를 푸는 기준으로 바뀌었다.
배치를 바꾼 독립 검증
이번에는 평면 γ, δ의 교선이 직선 m이고, 평면 γ 위의 직선 PX와 평면 δ 위의 직선 PY가 모두 m에 수직이라고 하자. ∠XPY = 67°일 때 이면각을 구하면
이면각 = ∠XPY = 67°
이다. 반면 평면 γ 위의 다른 직선 q가 m과 40°를 이루고, 평면 δ 위의 직선 r이 m과 25°를 이룬다면 ∠q r은 이면각을 결정하지 않는다. 숫자가 달라져도 “교선에 각각 수직인 두 직선의 각”이라는 첫 판단을 재현해야 한다.