수청동고1수학과외, 상수함수와 항등함수를 식과 그래프로 구별하기
매홀고등학교 프린트에서 함수의 그래프를 해석할 때는 계산을 시작하기 전에 식과 그래프가 어떤 관계를 나타내는지 먼저 표시해야 한다. 수청동 생활권에서 평일 귀가 후 시간이 짧은 날에도 이 구별을 한 줄로 정리하면 불필요한 계산을 줄일 수 있다.
두 함수는 그래프의 모양보다 대응 관계가 다르다
상수함수는 모든 정의역의 값에 같은 값을 대응시킨다. 예를 들어 y=4는 x의 값이 변해도 y가 항상 4이므로 수평선 y=4가 된다.
반면 항등함수는 각 x에 자기 자신을 대응시키는 함수다. 식은 y=x이고, 그래프는 원점을 지나며 기울기가 1인 직선이다. 따라서 두 함수 모두 직선으로 나타나지만, 상수함수는 y값이 고정되고 항등함수는 y값이 x에 따라 변한다.
식에서 x가 사라지고 y가 일정하면 상수함수, 모든 x에 대해 y=x이면 항등함수이다.
계산을 먼저 시작하면서 빠진 판별
수업 중 다음과 같은 함수가 제시되었다고 하자.
f(x)=7의 그래프와 함수의 종류를 설명하시오.
학생은 식 옆에 바로 “직선이므로 항등함수”라고 적고, 이어서 다른 문항의 값을 계산했다. 이 답안에는 그래프의 모양만 보고 판단한 흔적이 있다. f(x)=7은 x가 무엇이든 함수값이 7로 같으므로 상수함수이며, 그래프는 y=7인 수평선이다. 항등함수라면 식이 f(x)=x여야 한다.
현재 상태는 그래프를 그릴 수 없어서라기보다, 식과 그래프를 연결해 확인하는 단계가 계산 과정에서 빠진 경우에 가깝다. 학생은 사용할 성질을 먼저 적지 않고 다음 줄로 넘어가므로, 직선이라는 공통점과 함수의 종류를 구별하지 못했다.
답안 첫 줄에 대응 규칙을 고정한다
이 유형에서는 계산 전에 다음처럼 근거를 말하게 한다.
f(x)=−3이라면 “x의 값과 관계없이 함수값은 −3으로 일정하므로 상수함수, 그래프는 y=−3인 수평선”이라고 설명한다. 실제로 x=0일 때와 x=5일 때 모두 함수값은 −3이다.
g(x)=x라면 “입력 x가 그대로 출력되므로 항등함수, 그래프는 y=x”라고 적는다. 예를 들어 점 (−2,−2), (0,0), (3,3)이 모두 그래프 위에 있다.
이후에야 좌표를 잡거나 다른 식을 계산한다. 식을 읽고, 함수값의 변화 여부를 확인하고, 그 결과를 그래프의 모양과 연결하는 순서가 답안에 남아야 한다.
표의 단위가 바뀌어도 같은 판단을 하는지 확인하기
훈련 문제는 식 대신 표로 제시한다. 시간의 단위를 분에서 시간으로 바꾸어 기록한 자료가 다음과 같다고 하자.
입력값 t: 0, 1, 2, 3
출력값 h(t): 6, 6, 6, 6
출력값이 모두 6이므로 이 자료는 h(t)=6으로 볼 수 있는 상수함수이다. 단위를 바꾸었다고 해서 판별 기준이 달라지지 않는다. 반대로 출력값이 0, 1, 2, 3이라면 h(t)=t인 항등함수의 표이다.
이 문제에서 학생이 먼저 “출력값이 일정한가, 입력값과 같은가”를 말한 뒤 답을 적는지 확인한다. 같은 식을 다시 푸는 것이 아니라 표의 표현이 달라진 조건에서도 구별 행동을 재현하는 평가다.
짧은 학습시간에는 선수개념보다 현재 오류를 먼저 본다
수청동에서 귀가가 늦거나 수행평가와 지필평가 준비가 겹치는 날에는 긴 선행 복습보다 현재 프린트의 함수 문항을 우선 확인한다. 다만 음수 계산이나 좌표 읽기처럼 중1 문자식·방정식·그래프가 불안정해 표의 값을 해석하지 못할 때는 해당 부분만 짧게 보완한다.
그 뒤 f(x)=2와 g(x)=x를 나란히 놓고, “상수함수는 출력값 고정, 항등함수는 입력과 출력 일치”라는 근거를 직접 말하게 한다. 매홀고등학교의 학교 일정과 귀가 시간을 고려해 학습 종류를 조정하더라도, 이 판별 문장을 생략하지 않는지가 확인 기준이다.