세교동고2수학과외

세교동고2수학과외, 0/0 극한에서 멈추는 계산 줄 바로잡기

세교동 세마고등학교에 다니는 고2 학생의 답안에서 다음 식이 발견됐다.

lim_x→1 (x²−1)/(x−1)

학생은 x=1을 바로 대입해 분자와 분모가 모두 0이 되자 “0/0이므로 극한값이 없다”고 적었다. 그러나 0/0은 극한값이 0이거나 존재하지 않는다는 뜻이 아니라, 대입만으로 값을 결정할 수 없는 부정형이다.

x=1 대입 뒤에 계산을 멈추면 안 되는 이유

분자를 인수분해하면

x²−1=(x−1)(x+1)

이므로, x≠1인 범위에서

(x²−1)/(x−1) =((x−1)(x+1))/(x−1) =x+1

따라서 원래 식에서 x=1을 직접 대입한 것이 아니라, 약분 가능한 식으로 정리한 뒤 극한을 계산해야 한다.

lim_x→1(x+1)=2

정답은 2이다. 약분 과정에서 x−1을 없앴지만, 이는 x≠1인 근방에서의 변형이며 극한은 x가 1에 가까워지는 값을 묻기 때문에 계산이 가능하다.

계산 줄 사이에 조건 확인 칸 만들기

세교지구에서 통학하고 학교 과제와 지필평가를 함께 처리할 때는 풀이를 길게 늘리기보다, 0/0이 나온 직후 다음 확인 칸을 답안에 남긴다.

□ 대입 결과가 0/0인가?

□ 분자와 분모를 인수분해할 수 있는가?

□ 공통인수를 약분한 뒤 남은 식에 극한값을 대입하는가?

이 문제에는 다음처럼 적는다.

x=1 대입 → 0/0
□ 인수분해: (x−1)(x+1)
□ x≠1에서 약분 가능
lim_x→1(x+1)=2

이 과정을 거치면 학생이 놓친 지점이 대입 자체가 아니라, 0/0 이후에 필요한 변형을 선택하지 않은 순간임을 확인할 수 있다. 기본 예제를 다시 풀 때도 같은 오류가 나타났다는 점에서, 공식 암기보다 극한 계산의 순서와 조건 판단이 아직 연결되지 않은 상태다.

계수와 접근값을 바꾼 식에서 순서를 다시 세우기

다음 문제에서는 숫자와 식의 계수를 함께 바꾼다.

lim_x→2 (x²−5x+6)/(x−2)

먼저 x=2를 대입하면 분자는 4−10+6=0, 분모는 0이므로 0/0이다. 여기서 멈추지 않고 인수분해한다.

x²−5x+6=(x−2)(x−3)

(x²−5x+6)/(x−2)=x−3  (x≠2)

그러므로

lim_x→2(x−3)=−1

학생이 스스로 대입 → 0/0 확인 → 인수분해 → 공통인수 약분 → 남은 식에 극한값 대입의 순서를 재구성하고, 약분 뒤의 식을 원래 식과 혼동하지 않는지 확인한다. 마지막 답에 −1만 적는 것이 아니라 0/0이 나온 뒤 인수분해한 중간식을 남겼다면, 새로운 조건에서도 극한의 오류 지점을 찾아 수정한 것으로 볼 수 있다.