세교동고1수학과외, 함수의 같음을 정의역과 함숫값으로 판별하기
세교동에서 학교 수업과 귀가 후 과제를 함께 소화하는 고1 학생에게 함수의 같음은 계산 속도만으로 해결되지 않는다. 두 식이 비슷하게 정리되는지 보기 전에, 입력할 수 있는 값의 범위와 각 입력에 대응하는 함숫값이 모두 일치하는지 확인해야 한다.
식이 같아 보여도 정의역이 다르면 같은 함수가 아니다
다음 두 함수를 살펴보자.
f(x) = (x2 - 1)/(x - 1) (단, x ≠ 1),
g(x) = x + 1 (모든 실수 x)
분자를 인수분해하면 x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)이므로 f(x)는 x ≠ 1에서 x + 1로 정리된다. 그러나 약분하기 전 f에는 x = 1을 입력할 수 없다. 실제로 f(1)은 분모가 0이 되어 정의되지 않지만, g(1) = 2이다.
따라서 두 식의 함숫값 표현은 x ≠ 1에서 같지만, 정의역이 다르므로 두 함수는 같은 함수가 아니다. ‘식이 정리되었다’와 ‘함수가 같다’를 구별해야 하는 장면이다.
계산을 시작하기 전에 빠진 한 줄
학교 프린트에서 두 함수가 같은지 묻는 문제를 풀 때, 학생은 정의역을 적지 않고 곧바로 분자를 인수분해한 뒤 f(x) = x + 1 = g(x)라고 결론을 썼다. 입력값 1에서 분모가 0이 된다는 사실을 기록하지 않았고, 두 함수가 동일한 조건을 정의역과 함숫값으로 확인하는 과정도 생략했다.
이 행동은 식의 변형은 따라가지만 함수의 구성 요소인 정의역과 함숫값의 대응을 함께 점검하지 않는 상태를 보여준다. 특히 함수값을 계산할 때도 입력값이 먼저 정의역에 포함되는지 확인해야 한다. f(1)은 계산할 수 없으므로, g(1)과 비교해 같은 함수라고 말할 수 없다.
풀이 앞뒤에 같은 문장을 배치하기
풀이의 첫 줄에 다음과 같이 적는다.
두 함수가 같은 조건인지 정의역과 함숫값으로 확인한다.
그 뒤 정의역을 나란히 쓴다.
- f의 정의역: x ≠ 1인 모든 실수
- g의 정의역: 모든 실수
이 단계에서 이미 정의역이 다르므로 같은 함수가 아님을 알 수 있다. 필요한 경우 x ≠ 1에서의 함숫값을 비교하면 f(x) = x + 1 = g(x)이지만, 이는 공통 정의역에서의 일치일 뿐이다. 풀이 마지막에도 같은 확인 문장을 다시 읽으며 ‘x = 1을 어느 함수에 넣을 수 있는가’를 표시한다.
정의역을 먼저 확인하는 짧은 계산
예를 들어 h(x) = √(x - 2), k(x) = √(x - 2)로 주어지고 두 함수의 정의역이 모두 x ≥ 2라면, 모든 정의역의 x에 대해 h(x)와 k(x)의 함숫값이 같으므로 같은 함수이다. 반대로 한쪽의 정의역을 x > 2로 제한했다면 식이 같아도 함수는 같지 않다.
세교지구와 세교12단지처럼 통학 후 확보한 시간이 짧은 날에는 풀이 전 한 줄과 풀이 후 한 줄을 고정해 계산 과정에 넣을 수 있다. 길게 복습하기보다 ‘입력값 가능 여부 → 함숫값 비교’의 순서를 실제 식에 표시하는 방식이다.
시간 제한을 바꾼 뒤 확인할 수 있는 판단
검증에서는 앞의 식을 그대로 반복하지 않고, 제한 시간을 둔 다음 문제를 제시한다.
p(x) = (x2 - 9)/(x + 3) (단, x ≠ -3),
q(x) = x - 3 (모든 실수 x)
p(x)는 x ≠ -3에서 x - 3으로 약분된다. 하지만 p의 정의역에는 -3이 빠져 있고 q의 정의역에는 -3이 포함된다. 따라서 두 함수는 같지 않다.
답을 바로 알려주지 않고, 학생이 먼저 정의역을 적은 뒤 “양변에 같은 연산을 적용했다”는 설명을 하는지 확인한다. ‘이항했으니 부호가 바뀐다’는 말에만 의존하지 않고, 식의 양변에 실제로 어떤 연산을 했는지 말해야 한다. 이후 다음 학습 기록에는 시간이 지나 다시 풀었을 때 재현하지 못한 문제만 남겨, 정의역 확인이 빠진 경우를 따로 추적한다.