세교동 고3수학과외: 정사영과 원래 선을 구분하는 공간도형 풀이
세교동에서 세마고등학교로 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 학생은 틀린 문제를 빠르게 다시 적는 습관 때문에 공간도형의 핵심 조건을 놓치고 있었다. 특히 삼수선의 정리에서 해설의 결론만 옮겨 쓰면서 정사영된 선분과 입체 속 원래 선분을 혼동했다.
처음 잘못된 판단은 길이의 동일시였다
평면을 α: z=0이라 하고, 점 P의 평면 α 위 정사영을 H라 하자.
- P=(0, 2, 5)
- H=(0, 2, 0)
- 직선 l은 x축, 즉 y=0, z=0
- H에서 l에 내린 수선의 발을 Q=(0, 0, 0)이라 둔다.
이때 PH는 평면 α에 수직이고, HQ는 직선 l에 수직이다. 따라서 삼수선의 정리에 의해 PQ도 l에 수직이다. 실제로 PQ의 방향벡터는 (0,-2,-5)이고 l의 방향벡터는 (1,0,0)이므로
(0,-2,-5)·(1,0,0)=0
이 되어 수직 조건이 확인된다.
학생의 오답: PQ=HQ=2이므로 PQ의 길이는 2이다.
이 식은 틀렸다. HQ는 평면 α 위에서 정사영된 선분이고, PQ는 점 P에서 Q까지 실제 공간에 놓인 선분이다. 두 선분은 같은 선분이 아니며, PH까지 포함해야 실제 길이를 계산할 수 있다.
직각삼각형 PHQ에서
PQ²=PH²+HQ²=5²+2²=29
이므로 정확한 답은 PQ=√29이다. 학생이 처음 잘못 판단한 지점은 정사영 HQ를 원래 선분 PQ로 바꿔 쓴 순간이다.
오답을 고치는 점검 순서
- 틀린 줄에 동그라미를 치고 ‘HQ는 평면 위 정사영, PQ는 공간 속 선분’이라고 적는다.
- PH가 평면 α에 수직인지, HQ가 l에 수직인지 조건을 따로 확인한다.
- 삼수선의 정리로 얻는 것은 PQ와 l의 수직 관계이지 PQ와 HQ의 길이가 같다는 결론이 아님을 구분한다.
- PH, HQ, PQ의 위치를 좌표로 표시한 뒤 피타고라스 관계식 PQ²=PH²+HQ²를 세운다.
- 계산 결과 √29를 다시 제곱하여 29가 되는지 확인하고, 좌표의 내적이 0인지 대조한다.
이 과정을 거치면 ‘정사영의 길이’와 ‘공간에서의 실제 거리’를 식의 모양만 보고 같다고 판단하는 오류를 줄일 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 평면 β: z=0, 점 P=(1,-3,4), 그 정사영 H=(1,-3,0), 직선 m을 x축으로 둔다. H에서 m에 내린 수선의 발은 Q=(1,0,0)이다.
PH=4, HQ=3이므로
PQ²=4²+3²=25
따라서 PQ=5이다. 실제로 PQ의 방향벡터는 (0,3,-4), m의 방향벡터는 (1,0,0)이므로 내적은 0이다. 정사영된 HQ의 길이 3을 PQ의 길이로 잘못 쓰지 않고, 변경된 좌표와 수직 조건을 함께 확인해야 정확한 결론에 도달한다.