부산동고2수학과외

부산동 고2수학과외, 0/0에서 멈추지 않고 접근 범위를 먼저 읽기

방과 후 이동을 마치고 확보한 짧은 자습 시간에 극한 문제를 풀 때, 식에 값을 바로 대입해 결론을 내리면 계산이 시작되기도 전에 막힐 수 있다. 특히 운천고등학교와 오산시 내 참고 학교의 학습 자료에서 자주 만나는 인수분해형 문제는 대입 결과가 풀이의 끝이 아니라 변형의 출발점이다.

0/0은 극한값이 아니라 다음 조작을 알리는 신호

다음 극한을 살펴보자.

lim_x→1 (x²−1)/(x−1)

x=1을 바로 대입하면 분자는 0, 분모도 0이 되어 0/0이 나온다. 이때 이를 극한값 0으로 적거나 계산을 중단하면 안 된다. 0/0은 원래 식에 아직 직접 대입할 수 없다는 뜻이며, 인수분해와 약분이 가능한지 확인해야 한다.

x²−1=(x−1)(x+1)이므로, x≠1인 범위에서는

(x²−1)/(x−1)=x+1

로 바꿀 수 있다. 극한에서 x는 1과 같아지는 과정에 있지만 실제로 1인 값만 사용하는 것이 아니므로, x≠1이라는 조건 아래의 식을 이용한다. 따라서

lim_x→1 (x²−1)/(x−1)=lim_x→1(x+1)=2

접근 방향이 필요한지 먼저 판별하는 장면

풀이 여백에 접근 방향을 전혀 표시하지 않고 바로 식을 정리하면, 양쪽에서 접근하는 극한인지 한쪽에서 접근하는 극한인지 확인하지 못한 채 계산을 진행하게 된다. 위 식은 x=1을 제외하면 1의 왼쪽에서도, 오른쪽에서도 정의된다. 그러므로 양쪽 극한을 확인할 수 있다.

인수분해 뒤의 식 x+1은 양쪽에서 모두 2로 접근하므로

lim_x→1−(x+1)=2,　lim_x→1+(x+1)=2

이고, 좌극한과 우극한이 같아 양쪽 극한도 2이다. 원래 분수식은 x=1에서 정의되지 않지만, 극한값은 존재할 수 있다는 점도 함께 구분해야 한다.

“1을 넣었더니 0/0”이라는 오답을 한 줄로 해부하기

풀이에 x=1 대입 → 0/0 → 극한값 없음이라고 적었다면, 잘못된 부분은 0/0을 최종 결론으로 처리한 것이다. 정답을 전부 지우기보다 먼저 다음 문장을 적는다.

“x=1에서 원래 식에 직접 대입할 수 없으므로, 인수분해 후 x≠1 조건에서 식을 바꿔야 한다.”

그다음 해당 단계만 수정하여

(x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1,　x≠1

을 남긴다. 이 과정을 거치면 0/0의 원인과 약분이 성립하는 범위를 동시에 확인할 수 있다.

약분한 식이 원래 식을 실제로 복원하는지 검산하기

수정한 식에 다시 x−1을 곱해 보자.

(x+1)(x−1)=x²−1

분자는 복원되지만, 약분 과정은 x−1≠0, 즉 x≠1일 때만 가능하다. 이 검산은 극한값 2를 확인하는 것과 원래 함수가 x=1에서 정의되는지를 확인하는 것이 서로 다른 판단임을 보여준다.

조건을 바꾼 인수분해형에서 다시 범위부터 적기

다음 문제에서는 접근점과 식의 모양이 달라진다.

lim_x→−2 (x²+4x+4)/(x+2)

x=−2를 대입하면 0/0이다. 분자를 인수분해하면

x²+4x+4=(x+2)²

이므로 x≠−2에서 분수는 x+2가 된다. 좌우에서 모두 −2로 접근하며

lim_x→−2−(x+2)=−2,　lim_x→−2+(x+2)=−2

이다. 따라서 극한값은 −2이다. 풀이가 끝난 뒤에는 (x+2)(x+2)=x²+4x+4를 확인하고, 약분 조건인 x≠−2도 빠뜨리지 않아야 한다.