부산동고1수학과외: 수직선 검사로 함수 그래프 판별하기
운천고등학교 프린트에서 그래프의 성질을 묻는 문제를 풀 때, 식의 기울기부터 계산하면 판단 순서가 뒤집힐 수 있다. 부산동에서 통학과 방과 후 이동을 마친 뒤 짧은 시간에 복습할 때도 먼저 “각 x값에 y값이 하나만 대응하는가?”를 확인하는 습관이 필요하다.
기울기 0이 아니라 정의되지 않는 직선
학생이 다음 두 식을 비교하면서 x=3을 기울기 0인 수평선으로 적었다.
y=3: 수평선이므로 기울기 0, 함수이다.
x=3: x값이 일정하므로 기울기 0, 함수이다.
첫 번째 판단은 맞지만 두 번째는 틀렸다. y=3은 모든 x에 대해 y값이 3으로 정해지는 그래프이므로 함수다. 반면 x=3은 점 (3,1), (3,5), (3,-2)처럼 x좌표가 3인 모든 점을 포함한다. 같은 x=3에 여러 y값이 대응하므로 y를 x의 함수로 나타낼 수 없다.
또한 서로 다른 두 점의 기울기 공식 (y₂-y₁)/(x₂-x₁)에서 x=3 위의 두 점을 고르면 x₂-x₁=0이 된다. 따라서 기울기는 0이 아니라 분모가 0이어서 정의되지 않는다.
그래프에 세로선을 실제로 대입해 보기
수직선 검사는 그래프에 x=a 꼴의 세로선을 그었을 때 교점의 개수를 세는 방법이다. 한 세로선이 그래프와 두 번 이상 만나면 같은 x값에 여러 y값이 생기므로 함수가 아니다.
- y=x²-4의 그래프에 x=1을 그으면 교점은 (1,-3) 하나다.
- y=2x+1의 그래프에 x=-2를 그으면 교점은 (-2,-3) 하나다.
- x=3의 그래프에 세로선 x=3을 그으면 무수히 많은 점에서 겹친다.
따라서 첫째와 둘째 그래프는 함수이고, 셋째 그래프는 함수가 아니다. 이 판단에서 기울기 공식은 출발점이 아니라 직선의 방향을 설명하는 보조 수단일 뿐이다.
말로만 확인하지 않고 판별 순서를 고정하기
학생의 풀이에서는 수직선 검사를 했다는 표시가 없고, 곧바로 기울기 공식을 적용했다. 이를 고치기 위해 그래프를 볼 때마다 다음 문장을 풀이 여백에 먼저 적도록 했다.
“x=a인 세로선과 만나는 점이 하나 이하인가?”
예를 들어 원의 일부인 x²+y²=9를 판단할 때 x=0을 대입하면 y=3 또는 y=-3이 나온다. 세로선 x=0이 (0,3), (0,-3)에서 두 번 만나므로 이 그래프는 y를 x의 함수로 나타낼 수 없다. 반대로 y=x²-1에서는 x=2일 때 y=3 하나만 정해져 수직선 검사를 통과한다.
새 조건에서 확인한 판별 과정
연습 직후 같은 식을 다시 쓰게 하지 않고, 조건을 바꾼 자료를 제시했다. 다음 세 그래프를 함수인지 판단하고 근거를 한 줄씩 적게 했다.
- y=-3x+4
- x=-1
- x²+y²=16
첫 번째는 모든 x에 대해 y=-3x+4가 하나씩 정해지므로 함수다. 두 번째는 x=-1에서 y가 여러 값이 될 수 있으므로 함수가 아니다. 세 번째는 x=0일 때 y=4 또는 y=-4이므로 함수가 아니다.
이때 학생이 답만 맞히는지보다, 각 경우에 실제로 세로선을 상정하고 교점 수를 설명하는지를 확인했다. 설명이 오래 걸리더라도 그 근거가 정확하면 학습 과정은 유지한 것으로 기록하고, 결과만 맞고 수직선 검사를 생략하면 재확인 대상으로 남긴다.
수행평가 피드백을 다른 형태의 문제에 옮기기
수행평가에서 “함수 여부는 기울기보다 하나의 x에 대응하는 y의 개수로 설명하라”는 피드백을 받았다면, 계산 문제에서는 x=2를 대입해 y의 개수를 세고, 자료 문제에서는 세로선을 그어 교점 수를 표시하며, 설명 문제에서는 “한 x값에 y값이 하나 이하로 대응한다”라고 서술해야 한다.
부산동에서 학교와 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에는 이 세 형식을 섞은 짧은 확인을 통해, x=a를 수평선으로 오해하지 않고 새로운 그래프에서도 판별 순서를 스스로 지키는지 살핀다.