부산동 고3 수학과외: 그림의 수직 관계를 식으로 고정하는 삼수선의 정리
운천고등학교가 있는 부산동에서 방과후 이동 뒤 자습 시간을 확보하는 학생을 지도하며, 삼수선의 정리를 계산 공식처럼 외우지 않고 직선과 평면의 위치관계부터 확인하도록 훈련했다. 같은 오산시의 세마고등학교, 세교고등학교, 매홀고등학교, 오산고등학교 등은 참고 학교이며 부산동 소재 학교로 구분하지 않았다.
답안 여백에서 뒤바뀐 수직 관계
학생은 공간도형 문제에서 평면 α 위의 점 H에 대해 PH ⟂ α이고, 점 P에서 평면 위의 점 Q로 그은 사선의 정사영이 HQ라는 상황을 확인했다. 그런데 풀이 중 다음과 같이 적었다.
학생의 오답: HQ ⟂ l이면 PH ⟂ l이다.
이 식은 삼수선의 정리를 잘못 적용한 것이다. 삼수선에서 비교해야 하는 것은 사선 PQ와 평면 위의 직선 l이다. PH는 평면에 수직인 보조선이므로, PH를 l과 직접 수직이라고 결론 내릴 수 없다.
좌표로 직선과 정사영을 분리하기
평면을 α: z=0으로 두고
H=(2,3,0), P=(2,3,4), Q=(5,3,0)
로 설정했다. 따라서
- PH의 방향벡터는 (0,0,-4)이고, PH ⟂ α이다.
- HQ의 방향벡터는 (3,0,0)이다.
- PQ의 방향벡터는 (3,0,-4)이다.
- 평면 α 위에서 H를 지나고 방향벡터가 (0,1,0)인 직선을 l이라 하자.
이때
(3,0,0) · (0,1,0) = 0
이므로 HQ ⟂ l이다. 또한
(3,0,-4) · (0,1,0) = 0
이므로 PQ ⟂ l이다. 이것이 삼수선의 정리에서 확인해야 할 관계다.
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 먼저 ‘평면에 수직인 선’, ‘사선’, ‘사선의 정사영’, ‘평면 위의 비교 직선’을 각각 표시했다. 그다음 PH를 PQ로 교체하고, 두 방향벡터의 내적이 0인지 계산했다. 마지막으로 HQ와 PQ가 모두 직선 l에 수직인지 확인해 식의 방향을 검산했다.
배치를 바꾼 독립 검증
이번에는 평면 β: z=0에서
H=(1,-2,0), P=(1,-2,6), Q=(1,2,0)
로 바꾸고, 평면 위 직선 m의 방향벡터를 (3,0,0)으로 두었다. 그러면
HQ=(0,4,0), PQ=(0,4,-6)
이고,
(0,4,0) · (3,0,0)=0
(0,4,-6) · (3,0,0)=0
이다. 따라서 HQ ⟂ m에서 PQ ⟂ m을 얻는다. 좌표와 길이를 바꿔도 평면의 수직선 PH가 아니라 사선 PQ와 그 정사영 HQ를 연결해야 한다는 절차가 유지되는지 확인했다.