금암동고2수학과외

금암동고2수학과외: 채운 점과 극한값을 분리하는 함수의 극한

금암동의 금암마을7단지나 세교12단지에서 세교고등학교까지 이동하는 시간은 학생마다 다르다. 그래서 같은 고2 수학을 공부하더라도 풀이를 다시 세우는 시간을 확보하는 방식은 달라질 수 있다. 이 글에서는 함수의 극한에서 계수와 부호가 바뀐 문제를 만났을 때, 함숫값과 극한값을 분리해 판단하는 장면을 다룬다.

f(1)=5라는 채운 점만 보고 극한을 5로 읽은 경우

다음 함수에서 x=1일 때의 함숫값과 x가 1에 가까워질 때의 값을 각각 확인해야 한다.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}2x+1& x<1\\ 5& x=1\\ x+3& x>1\end{array}\right.$

왼쪽에서 1로 접근하면 $\underset{x\to 1-}{lim}f\left(x\right)=2·1+1=3$이고, 오른쪽에서 접근하면 $\underset{x\to 1+}{lim}f\left(x\right)=1+3=4$이다. 좌극한과 우극한이 다르므로 $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$은 존재하지 않는다. 한편 $f\left(1\right)=5$는 정의된 점의 높이일 뿐이다.

답안에 “$f\left(1\right)=5$이므로 극한값도 5”라고 적었다면, 처음 어긋난 기호는 $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)$이다. 이 등식은 좌극한과 우극한이 같다는 확인 없이 쓸 수 없다. 바로 아래에 $\underset{x\to 1-}{lim}f\left(x\right)=3$, $\underset{x\to 1+}{lim}f\left(x\right)=4$를 다시 써야 한다.

부호가 바뀌어도 좌우극한을 먼저 연결하기

계수와 부호가 달라진 문항에서는 이전 문제의 숫자를 기억해 대입하지 말고, 접근 방향에 따른 식을 새로 적는다. 예를 들어

$g\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}-3t-1& t<-2\\ 6& t=-2\\ 5t+9& t>-2\end{array}\right.$

왼쪽 극한은 $-3(-2)-1=5$, 오른쪽 극한은 $5(-2)+9=-1$이다. 따라서 좌우극한이 달라 $\underset{t\to -2}{lim}g\left(t\right)$은 존재하지 않지만, $g(-2)=6$이다.

이처럼 문자가 x에서 t로, 접근점이 1에서 −2로 바뀌어도 답안의 순서는 유지되어야 한다. 먼저 좌극한과 우극한을 따로 계산하고, 두 값의 일치 여부를 확인한 뒤, 마지막에 해당 점의 함숫값을 별도로 적는다.