금암동고1수학과외: 함수값 계산 전 정의역부터 확인하기
금암동의 세교고등학교 프린트에서 함수값을 빠르게 계산하던 학생이 다음과 같이 적었다.
함수 \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}\)에서 \(f(3)=\frac{5}{0}=0\)
식에 \(x=3\)을 넣는 계산 자체보다 먼저 확인할 내용이 빠져 있다. 분모 \(x-3\)은 0이 될 수 없으므로 이 함수의 정의역은 \(x\ne3\)이다. 따라서 \(f(3)\)은 계산 결과가 0인 것이 아니라, 애초에 정의되지 않는다.
입력값과 식의 제한 조건을 먼저 연결하기
함수값을 구할 때는 주어진 수를 곧바로 대입하지 않고, 그 수가 정의역에 속하는지 판단해야 한다. 위 함수에서는
\(x-3\ne0\), 따라서 \(x\ne3\)
이라는 조건이 먼저 나온다. \(x=1\)이라면 정의역에 포함되므로
\(f(1)=\frac{1+2}{1-3}=-\frac{3}{2}\)
로 계산할 수 있다. 반면 \(x=3\)은 분모를 0으로 만들기 때문에 함수값을 구할 수 없다.
여백에 남겨야 할 짧은 확인
이 학생은 풀이 여백에 계산식만 쓰고 입력값의 허용 여부를 표시하지 않았다. 따라서 이후 분수 계산에 익숙한 방식으로 접근하면서 \(5\div0\)을 하나의 수처럼 처리했다. 이때 필요한 흔적은 길게 정리한 개념 노트가 아니라 다음과 같은 한 줄이다.
정의역: \(x\ne3\), 주어진 값 \(x=3\)은 제외
이 한 줄을 대입식보다 앞에 두면, 계산을 시작하기 전에 문제의 입력값을 보류할 수 있다. 0으로 나누는 계산은 허용되지 않으므로 \(f(3)\)에는 수치 답을 쓰지 않는다.
분모뿐 아니라 근호 안도 함께 점검하기
정의역 제한은 분모가 있는 함수에서만 생기는 것은 아니다. 예를 들어
\(g(t)=\sqrt{7-t}\)
에서는 근호 안이 음수가 되면 안 되므로 \(7-t\ge0\), 즉 \(t\le7\)이어야 한다. \(t=5\)는 가능하여 \(g(5)=\sqrt2\)이지만, \(t=9\)는 정의역 밖이므로 \(g(9)\)를 실수 범위에서 계산할 수 없다.
이처럼 식의 모양에 따라 확인할 조건이 달라진다. 분수식이면 분모가 0인지, 근호식이면 근호 안이 음수가 되는지부터 입력값과 연결한다.
표현이 달라진 학교 프린트에서 확인하기
교과서의 \(f(3)\)처럼 직접 값을 묻지 않고, 학교 프린트에서 “함수 \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}\)의 그래프 위에 놓일 수 없는 입력값을 고르시오”라고 표현할 수도 있다. 이때도 공식부터 적용하지 않고 \(x-3=0\)이 되는 값을 찾으면 \(x=3\)이 제외된다는 결론에 도달한다.
금암마을7단지나 세교12단지에서 귀가한 뒤 확보되는 시간이 짧은 날에는 문제를 오래 붙잡기보다, 먼저 정의역 조건을 표시하고 계산 가능 여부를 판정한다. 시간이 부족해 계산을 끝내지 못하더라도 조건 밖 입력값을 답으로 확정하지 않고 해당 문항을 보류한 뒤 복귀하는 기준을 지키는 것이 중요하다.
숫자를 바꾼 문항으로 판단을 확인하기
같은 식을 다시 풀게 하지 않고 다음 문항으로 바꾸어 확인한다.
\(h(u)=\frac{2u-1}{u+4}\)일 때 \(h(-4)\)의 값을 구하여라.
먼저 \(u+4\ne0\)이므로 정의역은 \(u\ne-4\)이다. 주어진 입력값 \(-4\)는 제외되므로 \(h(-4)\)는 정의되지 않는다. 학생이 곧바로 \(\frac{-9}{0}\)을 계산하지 않고, 정의역을 먼저 적은 뒤 보류했다면 함수값 계산의 순서를 새로운 조건에서도 적용한 것이다.