금암동고3수학과외

금암동 고3 수학과외: 평면의 방향벡터로 위치관계 다시 세우기

금암동의 세교고등학교를 다니는 학생은 금암마을7단지에서 학교와 학원까지 이동하는 시간에 맞춰 풀이량을 조절하고 있었다. 같은 오산시의 세마고등학교, 매홀고등학교, 오산고등학교, 운천고등학교는 참고 학교로 볼 수 있지만, 생활권과 통학 시간이 같다고 단정할 수는 없다. 이 학생에게는 짧은 시간에도 공간도형의 조건을 정의부터 확인하는 풀이가 필요했다.

이전 풀이를 복사해 생긴 오답

두 평면의 위치관계를 묻는 문제에서 다음 평면을 주었다.

α: x+2y-z=1,　β: 2x+4y-2z=3

학생은 이전 문제에서 평면의 계수가 두 배였던 것을 그대로 적용하여 다음과 같이 적었다.

β의 법선벡터는 α의 법선벡터의 2배이므로 두 평면은 일치한다.

이 결론은 오답이다. 법선벡터가 평행하다는 사실만으로 두 평면이 일치한다고 할 수 없다. 평면의 방정식 전체가 같은 비율로 변해야 하는데, α의 식을 2배하면 2x+4y-2z=2가 된다. 실제 β의 우변은 3이므로 두 평면은 서로 다른 평행평면이다.

법선벡터와 상수항을 분리해 판단하기

두 평면의 법선벡터를 비교하면

n_α=(1,2,-1),　n_β=(2,4,-2)=2n_α

따라서 두 평면의 방향은 같고 서로 평행하거나 일치할 수 있다. α의 식에 2를 곱한 식과 β를 비교하면

2(x+2y-z)=2이지만 β는 2x+4y-2z=3이다.

법선벡터는 비례하지만 상수항은 일치하지 않으므로 두 평면은 서로 평행하고 만나지 않는다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 계수의 비와 상수항의 비를 따로 확인하고 식을 다시 작성했다.

• 법선벡터 비: 1:2, 2:4, -1:-2로 일정함
• 상수항 비교: 1:3으로 일정하지 않음
• 결론: 평행, 일치 아님

마지막으로 α 위의 점 (1,0,0)을 β에 대입하면 2≠3이므로 이 점이 β 위에 없음을 확인했다. 두 평면이 일치한다면 α 위의 모든 점이 β 위에 있어야 하므로, 대입 검산으로도 오답을 제거할 수 있다.

각도가 바뀐 새 조건으로 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 두 평면을 새로 확인했다.

γ: 2x-y+z=4,　δ: x+2y+z=1

법선벡터는 각각

n_γ=(2,-1,1),　n_δ=(1,2,1)

두 벡터의 내적은

n_γ·n_δ=2-2+1=1

0이 아니고 두 벡터도 비례하지 않으므로 두 평면은 평행하지 않으며 수직도 아니다. 따라서 두 평면은 공간에서 한 직선으로 만난다. 학생은 이전 평면의 위치관계를 재사용하지 않고, 새 법선벡터를 구한 뒤 비례 여부와 내적을 차례로 확인하여 잘못된 후보인 ‘평행’과 ‘수직’을 모두 제외했다.