이의동고2수학과외

이의동고2수학과외, 시그마 기호가 바뀌는 순간을 추적하는 연습

귀가 후 학교 프린트와 과제를 정리할 때 수열의 합 문제를 다시 풀었지만, 결과만 고쳐 쓰면 같은 오류가 반복될 수 있다. 특히 Σk, Σk², Σk³가 한 문제에 함께 나오면 각각의 의미를 계산 줄마다 분리해야 한다. 이의동에는 광교고등학교와 수원외국어고등학교가 있고, 같은 영통구의 이의고·효원고·태장고등학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 실제 답안에서 합 공식이 적용되는 지점을 확인하는 것이 우선이다.

Σk²를 [Σk]²로 바꾼 한 줄

예를 들어 다음 값을 계산한다고 하자.

Σ_k=1⁴k · Σ_k=1⁴k² · Σ_k=1⁴k³

올바른 계산은 각각 따로 진행한다.

• Σk = 1+2+3+4 = 10
• Σk² = 1²+2²+3²+4² = 30
• Σk³ = 1³+2³+3³+4³ = 100

따라서 전체 값은 10×30×100=30,000이다.

재풀이에서 Σk²=(Σk)²라고 적었다면, 이는 합의 제곱과 제곱의 합을 혼동한 것이다. 실제로

(Σk)²=(1+2+3+4)²=10²=100

이지만

Σk²=1²+2²+3²+4²=30

이므로 두 값은 같지 않다. 이 지점이 처음 어긋난 기호이며, 이후의 곱셈을 다시 계산하기 전에 이 줄부터 바로잡아야 한다.

공식보다 먼저 합의 대상을 분리하기

항의 개수가 일반적인 경우에는 다음 세 공식을 서로 바꾸지 않고 사용한다.

Σ_k=1ⁿk = n(n+1)/2

Σ_k=1ⁿk² = n(n+1)(2n+1)/6

Σ_k=1ⁿk³ = [n(n+1)/2]²

예컨대 n=4를 대입하면 두 번째 공식은 4×5×9÷6=30, 세 번째 공식은 [4×5÷2]²=10²=100이 된다. 여기서 Σk³=(Σk)³가 아니라 Σk³=(Σk)²라는 관계임에도, 반드시 해당 공식이 k=1부터 n까지의 세제곱의 합이라는 점을 확인해야 한다.

처음 틀린 기호에 표시하고 중간식을 복원하기

풀이 중 값이 이상하면 마지막 답부터 고치지 않고, 합 기호가 수로 바뀌는 첫 줄을 표시한다. 예시는 다음과 같다.

Σk²=(Σk)²=10²=100

Σk²=1²+2²+3²+4²=30

그다음 전체 곱을 10×30×100으로 다시 써서 각 합이 어느 값에서 왔는지 남긴다. 이 방식이면 계산 오류가 곱셈에서 생겼는지, 합 공식 선택에서 생겼는지 구분할 수 있다.

범위를 바꾼 검산: k=1부터 3까지

수정한 관계가 새로운 수에서도 유지되는지 다음 식으로 확인한다.

Σ_k=1³k · Σ_k=1³k² · Σ_k=1³k³

각 합은

• Σk = 1+2+3 = 6
• Σk² = 1+4+9 = 14
• Σk³ = 1+8+27 = 36

이므로 결과는 6×14×36=3,024이다. 이때 Σk²를 다시 (Σk)²=36으로 바꾸지 않고 14로 계산하며, 마지막에는 세 합을 직접 더한 값과 공식에 대입한 값이 일치하는지 확인해야 한다.