이의동고1수학과외: 부분집합 수를 2의 거듭제곱으로 세는 연결
집합 \(A=\{1,3,5,7\}\)의 부분집합 개수를 묻는 문제에서 답안이 갑자기 \(4+2=6\)으로 끝난다면, 계산 실수보다 먼저 확인할 부분이 있다. 원소 하나마다 부분집합에 포함할지 말지 두 가지 선택이 생긴다는 연결이 풀이에 나타났는가이다.
익숙한 계산이 놓친 선택의 수
이의동의 한 학생은 집합의 원소가 4개라는 사실은 표시했지만, 부분집합 개수와 \(2^4\)를 연결하는 중간 식을 적지 않고 곧바로 다음 문제로 넘어갔다. 현재 상태는 원소 수를 세는 것과 부분집합 개수를 구하는 것을 별개의 절차로 처리하고 있어, 원소 수가 바뀌면 어떤 식을 써야 하는지 다시 판단하기 어려운 상태다.
부분집합 하나는 각 원소에 대해 ‘포함’ 또는 ‘포함하지 않음’을 선택해 만든다. 따라서 원소가 \(n\)개인 집합의 부분집합 개수는
\(2\times2\times\cdots\times2=2^n\)
이다. 위의 집합에서는 \(n=4\)이므로 전체 부분집합 수는 \(2^4=16\)이다. 공집합과 원래 집합도 각각 하나의 부분집합에 포함된다.
답안에 반드시 남겨야 할 연결식
예를 들어 \(B=\{a,b,c\}\)의 부분집합 개수를 구할 때는 원소를 나열해 모두 세기보다 다음처럼 적는다.
\(n(B)=3\), 따라서 부분집합의 개수는 \(2^{n(B)}=2^3=8\)
학생의 풀이에서 빠진 것은 단순한 문장이 아니라 \(n(B)=3\)에서 \(2^{n(B)}\)로 넘어가는 판단이다. 이 한 줄이 있어야 ‘원소 수가 지수로 들어간다’는 관계를 확인할 수 있다. 풀이 전에는 집합의 원소 수 옆에 \(2^{\text{원소 수}}\)를 적고, 계산 후에는 결과가 \(2^n\)인지 다시 대조한다.
불필요한 숫자를 걸러내는 변형
조건을 바꾸어 다음 문제를 제시한다.
집합 \(C=\{2,4,6,8,10\}\)의 부분집합 개수를 구하여라. 단, 문제지에 적힌 숫자 100은 집합 \(C\)의 원소가 아니다.
집합의 원소는 5개이므로 \(n(C)=5\)이고, 부분집합 개수는 \(2^5=32\)이다. 숫자 100은 계산에 사용할 대상이 아니므로 지수에 포함하면 안 된다. 학생이 \(2^6\)을 썼다면 ‘집합 기호 안에 실제로 들어 있는 원소만 세었는가’를 다시 확인하게 한다.
계산·자료·설명으로 다시 확인하기
수행평가 피드백을 반영했는지는 세 방식으로 확인한다. 계산 문제에서는 원소 수가 6인 집합의 부분집합 개수를 \(2^6=64\)로 쓰는지 본다. 자료 문제에서는 “원소 수와 부분집합 수의 관계” 표에서 \(n=2,3,4\)에 각각 \(4,8,16\)을 연결하는지 확인한다. 설명 문제에서는 “각 원소마다 두 선택이 있으므로 \(n\)개의 원소에는 \(2^n\)개의 선택 결과가 있다”고 말하는지 살핀다.
귀가 후 과제와 시험 준비가 겹치는 날에는 모든 문제를 한 번에 끝내려 하기보다, \(n\)을 세고 \(2^n\)을 적는 확인을 먼저 한다. 시간이 부족하면 계산을 무리하게 이어 가지 않고 표시한 뒤 해당 줄로 돌아오는 기준을 둔다. 같은 유형을 맞혔는지가 아니라, 새로운 숫자와 자료 형식에서도 그 연결식을 스스로 복원했는지가 판단 기준이다.