이의동 고3 수학과외: 타원 조건을 읽는 한 단계부터 점검하기
이의동의 광교고등학교와 수원외국어고등학교 학생을 지도할 때는 학교별 경향을 단정하기보다 귀가 시각과 과제량을 고려해 시험 준비 순서를 조정한다. 이 학생은 타원 문제를 다시 풀면서 오답 표시만 지우고 정답을 바꾸는 습관이 있어, 장축과 단축을 구분하는 첫 조건부터 확인했다.
틀린 중간식에서 시작된 혼동
두 초점이 F1(-4,0), F2(4,0)이고 두 초점까지의 거리의 합이 10인 타원의 방정식을 구하는 문제였다.
학생의 풀이: 장축 길이 6, 단축 길이 10이므로 a=3, b=5
c2=a2-b2=9-25=-16
이 식은 틀렸다. 타원의 표준형에서 a는 장축의 반의 길이이고 b는 단축의 반의 길이이며, 항상 a>b>0이다. 초점이 x축 위에 있으므로 장축은 x축 방향이고, 두 초점 사이의 거리가 8이므로 c=4이다. 거리의 합 10은 장축 길이 2a이므로 a=5, b는 c2=a2-b2에서 구해야 한다.
정의와 변수 관계를 한 줄씩 복원하기
- 두 초점까지의 거리의 합: 2a=10
- 장축의 반의 길이: a=5
- 초점과 중심 사이의 거리: c=4
- 단축의 반의 길이: b2=a2-c2=25-16=9이므로 b=3
따라서 타원의 방정식은 x2/25+y2/9=1이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, ‘장축 길이와 단축 길이를 먼저 구분했는가’, ‘초점의 위치가 어느 축 방향인가’를 확인하고 그 줄만 수정했다. 이후 대표값을 대입해 검산했다.
- (5,0)을 대입하면 25/25=1이므로 장축 끝점이다.
- (0,3)을 대입하면 9/9=1이므로 단축 끝점이다.
- 수직선에 x=-5, x=5를 표시하면 장축의 경계가 되고, x=0과 x=5를 각각 대표값으로 넣어 타원 내부와 경계의 위치를 확인할 수 있다.
평행이동된 조건으로 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않고, 중심을 (2,-1)로 옮긴 타원의 두 초점을 (-3,-1), (7,-1), 두 초점까지의 거리의 합을 26으로 바꾸어 검증했다.
이번에는 c=5, 2a=26이므로 a=13이다. 따라서
b2=132-52=169-25=144, 즉 b=12이다.
평행이동된 타원의 식은 (x-2)2/169+(y+1)2/144=1이다. 학생은 장축이 여전히 x축 방향인지 확인하고, (15,-1)을 대입해 169/169=1, (2,11)을 대입해 144/144=1임을 확인했다. 숫자와 중심이 바뀌어도 먼저 거리의 합에서 a를 정하고, 초점에서 c를 정한 뒤 b를 계산하는 순서는 유지되었다.