영통동고2수학과외

영통동고2수학과외, 시그마의 시작과 끝을 부분합으로 연결하기

영통동의 태장고등학교, 청명고등학교, 영덕고등학교 등에서 고2 수학을 공부할 때는 통학과 과제 사이에 풀이 과정을 짧게 적는 습관이 생기기 쉽다. 그러나 시그마에서는 첫 줄의 시작값과 끝값이 사라지면 계산 전체가 달라진다.

Σ의 아래·위 숫자를 먼저 보존하기

다음 식을 계산한다고 하자.

∑_k=3⁶ k

풀이에서 이를 1+2+3+4+5+6=21로 계산했다면, 시작값 3을 1로 바꾼 오류다. 원래 식은 k가 3, 4, 5, 6일 때만 더하므로

∑_k=3⁶ k=3+4+5+6=18

이다. 시작값과 끝값은 장식이 아니라 실제로 포함되는 항의 범위를 결정한다.

부분합으로 바꿀 때도 빠진 항을 확인하기

일반항이 a_k=2k−1이고 S_n=∑_k=1ⁿ(2k−1)라면, 3번째 항부터 6번째 항까지의 합은 앞의 두 항을 제외해야 한다.

∑_k=3⁶(2k−1)=S₆−S₂

실제로 S₆=1+3+5+7+9+11=36, S₂=1+3=4이므로 결과는 36−4=32이다. 항을 직접 쓰면 5+7+9+11=32로도 확인된다. 반면 S₆−S₃이라고 쓰면 3번째 항까지 제거되어 4번째 항부터의 합이 되므로 범위가 달라진다.

계수와 부호가 바뀐 식에서 다시 확인하기

다음 식에서는 시작값 4와 끝값 7을 식 위에 먼저 표시한다.

∑_k=4⁷(5−2k)

항은 −3, −5, −7, −9이므로 합은 −24이다. 부분합을 사용하면 T_n=∑_k=1ⁿ(5−2k)로 두어

∑_k=4⁷(5−2k)=T₇−T₃

가 된다. T₇=−21, T₃=3이므로 −21−3=−24이다. 계수와 부호가 달라져도 시작 직전까지의 부분합을 빼야 한다.

이처럼 새로운 시그마를 풀 때마다 먼저 아래 숫자와 위 숫자를 그대로 옮기고, 부분합으로 바꾼다면 S_끝−S_시작−1인지 확인한다. 마지막으로 직접 나열한 항의 개수가 끝값−시작값+1과 같은지 대조하면, 범위를 1부터 계산하는 실수를 스스로 걸러낼 수 있다.