영통동고1수학과외, 부분집합과 진부분집합을 원소로 판별하기
영통동에서 태장고등학교, 청명고등학교, 영덕고등학교 등으로 통학하며 학교 과제와 시험 준비를 함께 진행하다 보면, 조건을 식으로 옮긴 뒤 곧바로 다음 계산으로 넘어가는 습관이 생길 수 있다. 집합 단원에서는 짧은 확인 하나가 답을 바꾼다. 부분집합은 모든 원소가 포함되면 성립하지만, 진부분집합은 두 집합이 서로 같지 않아야 한다.
기호만 옮기고 원소 관계를 확인하지 않은 답안
예를 들어 다음 조건을 보자.
A={1, 2, 4}, B={1, 2, 4, 8}일 때 A와 B의 포함관계를 설명하시오.
학생은 조건을 식으로 옮긴 뒤 여백에 확인 표시를 남기지 않고 바로 다음 계산으로 넘어갔다. 답안에는 A⊂B만 적혀 있었지만, 왜 진부분집합인지 원소를 대조한 흔적은 없었다. 이 상태에서는 기호를 외워 사용하고 있을 뿐, 각 원소의 포함관계를 확인하는 단계가 빠져 있다.
부분집합과 진부분집합을 가르는 두 번째 조건
A⊆B는 A의 모든 원소가 B에 들어 있다는 뜻이다. 실제로 1, 2, 4는 모두 B의 원소이므로 A⊆B이다. 또한 B에는 A에 없는 8이 있으므로 A와 B는 같지 않다. 따라서 A는 B의 진부분집합이며 A⊂B라고 쓸 수 있다.
반대로 C={1, 2, 4}라면 A와 C의 원소가 모두 같으므로 A⊆C는 참이지만 A⊂C는 거짓이다. 진부분집합에서는 포함관계뿐 아니라 적어도 하나의 차이도 확인해야 한다.
계산 전에 남겨야 할 원소 대조
풀이를 다음처럼 두 줄로 나누면 판단 근거가 분명해진다.
- 1∈A, 2∈A, 4∈A이고 모두 B에 들어 있으므로 A⊆B
- 8∈B이지만 8∉A이므로 A≠B
따라서 A⊂B이다. 학생에게는 ‘포함 여부’와 ‘같은 집합인지 여부’를 각각 확인한 뒤 네모 표시를 하게 한다. 조건을 식으로 옮긴 뒤 원문과 다시 대조하는 행동이 실제 풀이에 남아야 한다.
소인수분해 표현에서도 원소를 복원하기
집합의 원소가 수의 약수로 주어진 경우에는 소인수분해 결과를 다시 곱해 누락된 원소를 찾을 수 있다. 예를 들어 12의 양의 약수 집합을 소인수분해로 확인하면 12=2²×3이고, 약수는 {1, 2, 3, 4, 6, 12}이다. 2²의 지수는 0, 1, 2가 가능하고 3의 지수는 0, 1이 가능하므로 이 조합을 빠뜨리지 않아야 한다.
만약 P={1, 2, 3, 4, 6}, Q={1, 2, 3, 4, 6, 12}라면 P의 원소는 모두 Q에 있지만 12가 P에 없으므로 P⊂Q이다. 학생이 소인수분해 결과를 역으로 곱해 2²×3=12를 직접 복원하면, 빠진 소인수나 지수를 확인하면서 원소 집합을 점검할 수 있다.
괄호 위치를 바꾼 조건에서 다시 판단하기
훈련 뒤에는 같은 집합을 반복하지 않고 다음 문제로 바꾼다.
R={x∈{1, 2, 3, 4, 6, 12} | x=2a×3b, 0≤a≤1, 0≤b≤1}, S={1, 2, 3, 6}일 때 S와 R의 관계를 쓰시오.
R은 a와 b가 각각 0 또는 1이므로 R={1, 2, 3, 6}이다. 따라서 S=R이다. S⊆R은 참이지만 S⊂R은 거짓이다. 학생이 소인수분해 결과를 1, 2, 3, 6으로 역산하고, 두 집합의 원소를 하나씩 대조한 뒤 ‘같다’는 표시를 남기는지 확인한다.
이처럼 수행평가에서 조건을 집합 기호로 옮기는 문제와 지필평가에서 소인수분해로 원소를 찾는 문제를 연결하면, 기호를 기계적으로 쓰지 않고 원소 관계를 근거로 부분집합과 진부분집합을 구별할 수 있다.