영통동 고3 수학과외에서 다시 세운 포물선의 기준
영통동의 태장고등학교, 청명고등학교, 영덕고등학교, 수원하이텍고등학교 학생들은 통학과 과제, 시험 준비를 함께 관리해야 하므로 풀이 과정에서 조건을 빠뜨리지 않는 습관이 중요하다. 영통주공9단지와 래미안영통마크원2단지처럼 생활권이 나뉘는 환경에서는 짧은 시간에도 풀이의 핵심 기준을 스스로 점검하는 연습이 필요하다.
기억한 준선을 먼저 쓰면 생기는 오류
학생은 초점이 바뀐 포물선의 방정식을 구하면서 다음과 같이 풀이했다.
초점이 F(2,0)이고 준선이 x=-2이므로
√((x-2)²+y²)=x+2
(x-2)²+y²=(x+2)²
y²=8x
이 계산은 초점 F(2,0), 준선 x=-2에 대해서는 맞다. 하지만 새 문제에서 초점이 F(3,0)으로 바뀌었는데도 이전 준선 x=-2를 그대로 사용했다면, 그 풀이는 틀린 풀이이다. 포물선은 초점과 준선까지의 거리가 같은 점의 자취이므로 초점의 위치만 바뀌어도 준선과 방정식을 함께 다시 확인해야 한다.
정의에서 출발해 식을 고치는 과정
새 조건을 초점 F(3,0), 준선 x=-3으로 두면 점 P(x,y)에 대해
PF=거리(P, 준선)
이므로
√((x-3)²+y²)=|x+3|
가 된다. 양변을 제곱하면
(x-3)²+y²=(x+3)²
x²-6x+9+y²=x²+6x+9
따라서
y²=12x
이다. 학생이 이전 준선을 사용해 얻은 y²=8x는 현재 초점 F(3,0)의 조건을 반영하지 못한 오답이다. 풀이 중 초점과 준선이 적힌 줄에 표시한 뒤, 두 대상의 거리를 같게 놓았는지 확인하고 식을 수정해야 한다.
- 초점 좌표와 준선의 위치에 밑줄을 긋는다.
- 거리식을 절댓값까지 포함해 다시 적는다.
- 제곱 전후의 식에서 부호와 계수를 비교한다.
- 구한 식에 초점과 준선 위의 점을 대입해 검산한다.
예를 들어 y²=12x에서 점 (3,6)은 36=36을 만족한다. 이 점의 초점까지 거리는 √((3-3)²+6²)=6이고, 준선 x=-3까지의 거리도 |3+3|=6이다. 따라서 정의가 실제로 맞는지 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 초점 F(0,2), 준선 y=-2인 포물선을 새로 확인한다. 점 P(x,y)의 두 거리의 같음은
√(x²+(y-2)²)=|y+2|
이므로
x²+(y-2)²=(y+2)²
x²+y²-4y+4=y²+4y+4
따라서
x²=8y
가 된다. 이전 문제의 y²=12x를 옮겨 쓰면 안 되며, 초점과 준선의 방향이 바뀌었으므로 포물선의 축도 x축에서 y축으로 바뀐다. 점 (4,2)를 대입하면 x²=16, 8y=16이고, 초점까지 거리와 준선까지 거리도 각각 4로 일치한다.
이처럼 포물선 문제에서는 외운 표준형보다 초점·준선·축의 관계를 먼저 세우고, 마지막에는 원래의 거리 정의와 대입 결과가 모두 맞는지 확인해야 변형 조건에도 같은 개념을 정확히 적용할 수 있다.