매탄동고2수학과외

매탄동고2수학과외: 시그마의 시작값과 끝값을 계산 줄에서 확인하기

매탄고등학교, 효원고등학교, 매원고등학교처럼 매탄동 안에서도 학교와 매탄권선역·매탄그린빌4단지 주변 주거지의 이동 시간이 다르다. 짧은 시간에 수열 문제를 풀 때는 공식을 외우는 것보다 시그마 기호의 범위를 계산식에 정확히 옮기는 과정이 먼저 드러나야 한다.

Σ의 아래 숫자 3을 지운 순간

문제는 다음과 같았다.

Σ_k=3⁶ k의 값을 구하여라.

계산 흔적에는 다음과 같이 적혀 있었다.

Σ_k=3⁶ k = 1+2+3+4+5+6 = 21

이 식은 시그마의 시작값인 k=3을 계산 과정에서 빠뜨린 오답이다. 위 첨자 6은 끝값이므로 포함되지만, 아래 첨자 3보다 작은 항인 1과 2는 포함되지 않는다.

잘못된 줄과 수정한 줄의 기호 하나

두 줄을 나란히 놓으면 바뀐 부분은 시작 숫자 하나다.

따라서

Σ_k=3⁶ k = 3+4+5+6 = 18

이다. 등차수열의 합 공식을 사용해도 항의 개수를 먼저 세어야 한다. 첫째항은 3, 마지막항은 6, 항의 개수는 6-3+1=4이므로

$\frac{4(3+6)}{2}=18$

가 된다. 시작값과 끝값을 표시하지 않은 채 공식을 적용하면 항의 개수도 함께 틀어진다.

계산 전에 범위를 식으로 옮기는 훈련

이 유형에서는 답을 바로 쓰지 않고, 시그마 기호를 펼치는 첫 줄에 아래 첨자와 위 첨자를 그대로 남긴다.

Σ_k=3⁶ k → k=3, 4, 5, 6 → 3+4+5+6

특히 항의 개수는 끝값에서 시작값을 뺀 뒤 1을 더한다.

항의 개수 = 6-3+1 = 4

이 한 줄을 계산식 옆에 적으면 1부터 시작하는 익숙한 합으로 되돌아가는 실수를 확인할 수 있다.

끝값이 바뀌고 해가 없는 경우까지 확인하기

다음 문제에서는 범위를 직접 읽은 뒤 가능한 값인지 판단해야 한다.

n≥3인 정수 n에 대하여
Σ_k=3ⁿ(2k-1)=20

항을 펼치면 5, 7, 9, …이므로 n=3일 때 합은 5이다. 일반적으로

Σ_k=3ⁿ(2k-1) = (1+3+5+⋯+(2n-1))-(1+3) = n²-4

이다. 따라서

n²-4=20 → n²=24

가 되지만, 24의 제곱근은 정수가 아니다. 문제의 조건이 n≥3인 정수이므로 가능한 n이 없다는 결론을 내려야 한다. 계산 중 얻은 값을 억지로 항번호로 쓰지 않고, 시작·끝 범위와 정수 조건을 마지막에 함께 확인하는지가 새로운 시그마 문제에서의 판단 기준이다.