매탄동 고3수학과외, 포물선의 준선 방향을 식으로 확인한 사례
매탄동의 매탄고등학교·효원고등학교·매원고등학교 학생 중에는 매탄권선역이나 매탄그린빌4단지 주변에서 이동 시간에 따라 풀이 점검 시간이 달라지는 경우가 있다. 이 학생은 계산은 빠르지만, 포물선의 정의를 그림으로 옮기는 첫 단계에서 조건을 바꾸어 해석했다.
마지막 부호보다 먼저 확인할 첫 줄
초점이 \(F(2,1)\), 준선이 \(y=-3\)인 포물선에서 학생은 준선을 세로로 그리고 다음처럼 출발했다.
준선은 \(x\)축과 평행하므로 \(x=-3\)
\((x-2)^2+(y-1)^2=(x+3)^2\)
이 식은 오답이다. 준선 \(y=-3\)은 \(x\)축과 평행한 수평선이며, 포물선의 축은 준선에 수직인 \(y\)축 방향이다. 학생은 준선의 방향을 축과 평행하게 잘못 그렸고, 그 결과 점 \(P(x,y)\)에서 준선까지의 거리를 \(|y+3|\)가 아니라 \(|x+3|\)로 바꾸었다.
정의에 맞춰 좌우 거리를 다시 세우기
포물선의 정의는 임의의 점 \(P(x,y)\)에 대해 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다는 뜻이다.
- 초점까지의 거리: \(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}\)
- 직선 \(y=-3\)까지의 거리: \(|y+3|\)
따라서 올바른 출발식은
\(\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|y+3|\)
이고, 양변을 제곱하면
\((x-2)^2+(y-1)^2=(y+3)^2\)
\((x-2)^2+y^2-2y+1=y^2+6y+9\)
\((x-2)^2=8y+8=8(y+1)\)
이다. 꼭짓점은 \((2,-1)\), 축은 \(x=2\)이며, 준선 \(y=-3\)과 축이 수직이라는 그림도 식과 일치한다.
틀린 줄을 표시하고 역계산하기
학생은 풀이의 첫 줄에 밑줄을 긋고, 원식과 수정식을 나란히 적었다.
- 틀린 식: \((x-2)^2+(y-1)^2=(x+3)^2\)
- 수정 식: \((x-2)^2+(y-1)^2=(y+3)^2\)
그다음 수정된 식에서 \(y=-3\)을 대입하면 \((x-2)^2+( -4)^2=0\)이 되어 실수 \(x\)가 나오지 않음을 확인했다. 이는 준선 위의 점은 포물선 위에 있을 수 없다는 사실과도 맞는다. 반대로 꼭짓점 \((2,-1)\)을 대입하면 초점까지 거리는 \(2\), 준선까지 거리도 \(2\)이므로 정의가 복원된다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 초점을 \(F(-1,3)\), 준선을 \(y=1\)로 바꾸었다. 준선이 수평선이므로 점 \(P(x,y)\)에서의 거리는 \(|y-1|\)이다.
\(\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=|y-1|\)
\((x+1)^2+(y-3)^2=(y-1)^2\)
\((x+1)^2=4(y-2)\)
따라서 꼭짓점은 \((-1,2)\), 축은 \(x=-1\)이다. 학생은 답을 쓰기 전에 준선의 방향, 거리식의 변수, 꼭짓점 대입을 차례로 확인하며 정의와 좌표식이 같은 관계를 나타내는지 검산했다.