매탄동고1수학과외에서 익히는 집합의 두 표현과 조건의 근거
집합 \(A=\{-2,0,2,4\}\)를 보고 원소나열법으로만 답하면 정답은 맞지만, 왜 이 네 수가 선택되었는지는 남지 않는다. 같은 집합을 조건제시법으로 나타내면 \(A=\{x\mid x\in\mathbb Z,\ x\text{는 짝수이고 }-2\le x\le4\}\)처럼 원소의 공통 조건을 밝혀야 한다.
네 원소를 하나의 조건으로 묶는 과정
먼저 원소를 직접 확인한다. \(-2,0,2,4\)는 모두 정수이고 짝수이며, 가장 작은 값이 \(-2\), 가장 큰 값이 \(4\)이다. 따라서 조건을 만족하는 정수를 범위 안에서 나열하면
\(-2\le x\le4\)인 짝수 정수는 \(-2,0,2,4\)뿐이다.
그러므로
\[ A=\{-2,0,2,4\} =\{x\mid x\in\mathbb Z,\ x\text{는 짝수},\ -2\le x\le4\} \]
이다. 조건제시법에서 ‘짝수’만 쓰면 범위 밖의 \(6,8,\ldots\)도 포함되고, 범위만 쓰면 홀수까지 들어가므로 두 조건이 모두 필요하다.
정답 옆에 남겨야 하는 한 줄
관찰된 답안에서는 원소나열법으로 집합을 맞힌 뒤 근거를 적지 않고 다음 계산으로 넘어간다. 이 경우 계산 결과는 맞아도 원소와 조건제시법의 연결을 확인할 흔적이 없다.
“\(-2,0,2,4\)는 모두 짝수 정수이고 \(-2\le x\le4\)를 만족하므로 두 표현은 같은 집합이다.”
이 한 줄에는 원소의 성질, 범위 조건, 두 표현이 같다는 결론이 함께 들어 있다. 답을 쓴 뒤 바로 다음 줄로 가지 말고, 실제 원소를 조건에 대입해 빠지는 원소와 불필요하게 들어오는 원소가 없는지 말로 확인한다.
부호를 바꾼 조건에서 드러나는 판단
예를 들어 조건의 범위를 바꾸어
\[ B=\{x\mid x\in\mathbb Z,\ x\text{는 짝수},\ -4\le x\le2\} \]
를 생각해 보자. 이때 원소나열법은
\[ B=\{-4,-2,0,2\} \]
이다. 범위의 오른쪽 끝을 \(4\)로 잘못 적으면 \(4\)가 포함되어 원래 집합과 달라진다. 반대로 왼쪽 끝의 부호를 잘못 바꾸어 \(4\le x\le2\)라고 쓰면 만족하는 \(x\)가 없으므로 공집합이 된다.
따라서 답안에는 다음처럼 조건과 결론을 함께 적는다.
\[ x\text{는 짝수 정수이고 }-4\le x\le2 \Rightarrow x=-4,-2,0,2 \]
“따라서 \(B=\{-4,-2,0,2\}\)이다”라고 마무리해야 부호를 어떻게 사용했는지 확인할 수 있다.
말로 설명한 뒤 식을 쓰는 짧은 훈련
문제를 풀 때 먼저 “대상은 정수이고, 짝수라는 성질과 양끝 범위를 동시에 만족한다”고 말하게 한다. 그 다음 조건제시법을 적고, 조건을 만족하는 값을 차례로 대입해 원소나열법으로 옮긴다. 마지막에는 나열된 원소 각각이 조건을 만족하는지 역방향으로 확인한다.
- 조건제시법의 대상 범위가 무엇인지 말한다.
- 성질과 범위 조건을 모두 적는다.
- 조건을 만족하는 원소를 빠짐없이 나열한다.
- 사용한 조건과 같은 집합이라는 결론을 답안에 남긴다.
막혔을 때는 답지를 찾기 전에 이 과정을 한 번 더 시도한다. 특히 부호가 바뀐 범위에서는 양끝 값을 직접 대입해 포함 여부를 확인한다.
매탄동의 생활 리듬에 맞춘 확인 장면
매탄고등학교·효원고등학교·매원고등학교처럼 매탄동 안의 학교에 다니더라도 주거지와 학교 사이 이동시간은 학생마다 다를 수 있다. 매탄권선역이나 매탄그린빌4단지 주변에서 귀가한 뒤 확보되는 시간이 짧다면 긴 문제 세트보다 집합 한 문제의 표현 변환과 근거 한 줄을 정확히 남기는 방식으로 확인할 수 있다. 같은 영통구의 태장고등학교와 이의고등학교는 참고 학교일 뿐 매탄동 소재 학교와 구분해야 한다.
새 조건 \(C=\{x\mid x\in\mathbb Z,\ x\text{는 홀수},\ -3\le x\le5\}\)를 제시했을 때 \(C=\{-3,-1,1,3,5\}\)라고 스스로 옮기는지 본다. 이때 단순히 원소만 맞히는 것이 아니라 “홀수 정수이며 \(-3\le x\le5\)이므로 이 다섯 수가 나온다”라고 조건과 결론을 함께 쓰는지 확인한다.