영등포고2수학과외, 로그부등식에서 치환 뒤 범위를 되돌리는 풀이
영등포구의 당산동·문래동·신길동·양평동·여의동은 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 뒤 문제를 풀 수 있는 시간이 다르다. 영등포여자고등학교, 관악고등학교, 여의도고등학교 등 학교별 프린트와 평가 문제를 정리할 때도 계산 결과만 적기보다 치환한 변수가 어떤 범위에서 나온 값인지 확인하는 과정이 필요하다.
t의 부등식만 풀고 x의 조건을 빠뜨린 장면
다음 로그부등식을 풀어 보자.
(log₂x)² - 3log₂x - 4 ≤ 0
먼저 로그의 진수 조건에서 x > 0이다. 이제 t = log₂x로 치환하면
t² - 3t - 4 ≤ 0
(t - 4)(t + 1) ≤ 0이므로
-1 ≤ t ≤ 4
여기까지 계산한 뒤 풀이를 멈추거나, 곧바로 -1 ≤ x ≤ 4라고 적으면 틀린다. t는 x가 아니라 log₂x이기 때문이다. 학생의 첫 풀이에는 바로 이 지점에서 x > 0으로 돌아가는 단계가 빠져 있었다.
치환변수의 범위를 x의 범위로 바꾸는 기준
밑이 2인 지수함수는 증가하므로
-1 ≤ log₂x ≤ 4
에서 양변을 지수형으로 바꾸면
2⁻¹ ≤ x ≤ 2⁴
따라서 정답은
1/2 ≤ x ≤ 16
이다. 이 구간의 모든 수는 양수이므로 처음 확인한 로그의 정의조건 x > 0도 만족한다. 여기서 t의 해를 구하는 단계와 x의 해로 되돌리는 단계를 분리해 적어야 한다.
오답이 시작된 줄부터 이어서 고치기
처음부터 다시 계산하게 하지 않고, 학생이 적은
-1 ≤ t ≤ 4
다음 줄에 다음 세 가지를 직접 덧붙이게 한다.
t = log₂x를 다시 확인한다.- 로그의 정의조건
x > 0을 적는다. -1 ≤ log₂x ≤ 4를 지수형 부등식으로 바꾼다.
즉, 답안에는
x > 0, -1 ≤ log₂x ≤ 4
2⁻¹ ≤ x ≤ 2⁴
∴ 1/2 ≤ x ≤ 16
의 흐름이 남아야 한다. 치환변수의 부등식만 맞히는 것이 아니라 원래 변수의 정의역까지 회복했는지를 확인하는 훈련이다.
밑이 1보다 작은 새 조건에서 후보를 모두 검산하기
다음 문제에서는 밑이 달라진다.
log_(1/2)x · (log_(1/2)x - 2) ≤ 0
로그의 정의조건은 x > 0이다. t = log_(1/2)x로 두면
t(t - 2) ≤ 0
이므로 0 ≤ t ≤ 2이다. 밑 1/2는 0과 1 사이이므로 지수형으로 되돌릴 때 대소관계가 뒤집힌다.
0 ≤ log_(1/2)x ≤ 2
(1/2)² ≤ x ≤ (1/2)⁰
따라서 가능한 후보는 1/4 ≤ x ≤ 1이다. 끝점도 직접 확인하면 x=1/4일 때 로그값은 2, x=1일 때 로그값은 0이므로 둘 다 포함된다. 모든 후보가 x>0을 만족하는지도 함께 확인해야 한다.