영등포고1수학과외, 음의 판별식과 최고차항 계수의 부호 연결하기
이차식의 판별식을 계산하고도 해의 개수와 식의 부호를 이어 쓰지 않으면, 계산 결과가 풀이의 근거로 남지 않는다. 영등포여자고등학교, 관악고등학교, 여의도고등학교 등에서 학교 프린트와 문제집을 함께 다룰 때에도 같은 연결이 필요하다. 핵심은 판별식이 음수라는 사실과 최고차항 계수의 부호를 함께 해석하는 것이다.
판별식이 음수일 때 먼저 결정되는 것
이차식 \(f(x)=ax^2+bx+c\)에서 판별식은 \(\Delta=b^2-4ac\)이다. \(\Delta<0\)이면 실근이 없으므로 그래프는 \(x\)축과 만나지 않는다. 따라서 식의 부호는 중간에 바뀔 수 없고, 최고차항 계수 \(a\)가 부호를 결정한다.
- \(a>0\), \(\Delta<0\)이면 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x)>0\)
- \(a<0\), \(\Delta<0\)이면 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x)<0\)
이는 꼭짓점의 최솟값 또는 최댓값으로도 확인할 수 있다. 다만 판별식이 음수라는 조건이 먼저 있어야 한다. 실근이 있으면 식의 부호가 \(x\)축을 기준으로 달라질 수 있기 때문이다.
계산은 했지만 부호 판단을 빠뜨린 풀이
\(f(x)=2x^2-4x+5\)의 판별식은 \(\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot5=-24\)이다. 따라서 실근은 없다.
이 답안은 해의 개수까지는 맞지만, 식이 양수인지 음수인지는 적지 않았다. 관찰된 풀이에서도 판별식 값을 구한 뒤 해의 개수 옆에 부호 의미를 연결하지 않고 다음 줄로 넘어갔다. 이 상태는 판별식 계산 절차는 알고 있지만, \(\Delta<0\)을 이차식의 전체 부호 판단에 사용하는 기준이 아직 안정되지 않았다는 뜻이다.
위 식에서는 \(a=2>0\)이고 \(\Delta=-24<0\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)>0\)이다. 실제로 \(x=1\)을 넣으면 \(f(1)=3\), \(x=-2\)를 넣으면 \(f(-2)=21\)이 되어 양수임을 확인할 수 있다. 답안에는 “실근이 없고, 최고차항 계수가 양수이므로 모든 실수 \(x\)에서 양수이다”라고 근거를 남겨야 한다.
최고차항 계수가 바뀌면 결론도 바뀐다
표현이 비슷해도 \(a\)의 부호를 따로 읽어야 한다. 예를 들어
\(g(x)=-3x^2+6x-4\)에서
\(\Delta=6^2-4\cdot(-3)\cdot(-4)=36-48=-12<0\)이다.
이번에는 \(a=-3<0\)이므로 모든 실수 \(x\)에서 \(g(x)<0\)이다. 학생이 “판별식이 음수이므로 항상 양수”라고 적었다면, 판별식의 역할과 최고차항 계수의 역할을 한 문장에 섞은 오류다. 판별식은 실근의 유무를 정하고, \(a\)는 실근이 없을 때 그래프가 \(x\)축의 위쪽에 있는지 아래쪽에 있는지를 정한다.
말로 근거를 붙인 뒤 식을 마무리하기
훈련에서는 정답을 바로 쓰지 않고 다음 문장을 먼저 말하게 한다.
“판별식이 \(-24\)이므로 실근이 없고, 최고차항 계수 \(2\)가 양수이므로 이 식은 모든 실수에서 양수이다.”
그 뒤 \(f(x)>0\)을 적는다. 반대로 \(a<0\)인 식이라면 “실근이 없고 최고차항 계수가 음수이므로 모든 실수에서 음수”라고 바꾸어 말한다. 이 과정을 거치면 판별식 계산, 해의 개수, 부호 판단이 각각 끊어지지 않고 하나의 풀이 근거로 이어진다.
표현이 바뀐 자료에서도 같은 개념 찾기
영등포의 주거지에서 학교까지 이동한 뒤 확보되는 시간이 학생마다 다르므로, 짧은 시간에는 여러 식을 무작정 풀기보다 표의 정보를 해석하는 연습으로 확인할 수 있다. 다음 표에서 ‘실근 수’와 ‘전체 부호’를 채운다고 하자.
- \(p(x)=x^2+2x+7\): \(\Delta=4-28=-24\), 실근 0개, \(a=1>0\)이므로 모든 실수에서 양수
- \(q(x)=-2x^2-4x-5\): \(\Delta=16-40=-24\), 실근 0개, \(a=-2<0\)이므로 모든 실수에서 음수
문제가 식 대신 “판별식이 \(-8\), 그래프의 위쪽 열림”처럼 제시되어도 같은 판단을 해야 한다. \(\Delta<0\)은 \(x\)축과 만나지 않는다는 뜻이고, 위쪽 열림은 \(a>0\)이라는 뜻이므로 해당 이차식은 모든 실수에서 양수이다. 표의 열 이름이나 문제의 문장이 바뀌어도 ‘음의 판별식으로 실근이 없음을 확인한 뒤 최고차항 계수의 부호로 전체 부호를 결정하는가’를 스스로 말하고 적는지 확인하면 된다.