치환 변수의 미분을 놓친 영등포 고3 수학과외 사례
당산동과 문래동처럼 학교와 주거지의 거리가 가까운 학생도 있고, 신길동·양평동에서 이동 시간이 더 필요한 학생도 있다. 이 학생은 귀가 후 풀이 시간이 제한되어 있어 적분식을 빠르게 기호만 바꾸는 습관이 생겼고, 영등포여자고등학교·관악고등학교 등 학교와 생활권에 따라 다른 학습 리듬을 고려해 개념 확인부터 다시 진행했다.
치환보다 먼저 확인할 원시함수와 조건
다음 조건을 만족하는 함수 \(F(x)\)를 구하는 문제를 풀었다.
F'(x)=\frac{2x}{x^2+1}, \qquad F(0)=3
학생은 \(u=x^2+1\)이라고 둔 뒤, \(dx\)와 \(du\)의 관계를 만들지 않고 다음과 같이 작성했다.
오답: \(\displaystyle \int\frac{2x}{x^2+1}dx=\int\frac{2u}{u}du=\int2du=2u+C\)
이 식은 틀렸다. \(x^2+1=u\)로 바꾸면 분모는 \(u\)가 되지만 분자의 \(2x\,dx\)를 \(du\)로 바꾸어야 한다. \(du=2x\,dx\)이므로 분자는 \(2u\)가 아니라 \(du\) 자체이다. 따라서
\[ \int\frac{2x}{x^2+1}dx =\int\frac{du}{u} =\ln|u|+C =\ln(x^2+1)+C \]
이다. \(x^2+1>0\)이므로 절댓값은 제거할 수 있다. 이제 원시함수의 형태를 정한 뒤 조건을 적용한다.
\[ F(x)=\ln(x^2+1)+C \]
\[ F(0)=\ln1+C=C=3 \]
따라서 정답은
\(F(x)=\ln(x^2+1)+3\)
이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 치환식에서 변수와 미분량의 관계를 따로 적었다.
- 틀린 줄 표시: \(x^2+1=u\)만 쓰고 \(du=2x\,dx\)를 생략한 부분에 밑줄 긋기
- 관계 확인: 분자 \(2x\,dx\)가 치환 후 \(du\)가 되는지 확인하기
- 식 수정: \(\int\frac{du}{u}\)로 바꾸고 \(\ln|u|+C\)를 적용하기
- 검산: \(F'(x)=\frac{2x}{x^2+1}\), \(F(0)=3\)을 직접 대입하기
조건이 원시함수를 결정하는지 확인하기
적분상수 조건이 없으면 \(F(x)=\ln(x^2+1)+C\)에서 \(C\)를 하나로 정할 수 없다. 반대로 \(F(0)=3\)이 주어졌기 때문에 상수가 결정된다. 학생은 앞으로 계산을 시작하기 전에 미분식, 치환 변수, 적분상수 조건을 각각 표시해 조건이 충분한지 먼저 판단하기로 했다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 식으로 확인했다.
G'(t)=\frac{6t}{3t^2+5}, \qquad G(1)=2
\(v=3t^2+5\)로 두면 \(dv=6t\,dt\)이므로
\[ G(t)=\int\frac{dv}{v}+C =\ln(3t^2+5)+C \]
이다. \(G(1)=2\)에서
\[ \ln8+C=2 \]
이므로 \(C=2-\ln8\)이다. 따라서
\(G(t)=\ln(3t^2+5)+2-\ln8\)
이고, 미분하면 \(\frac{6t}{3t^2+5}\), \(t=1\)을 대입하면 \(2\)가 되어 조건도 만족한다. 계수가 달라져도 치환 변수의 미분을 먼저 만들고 원래 식과 대조해야 한다는 점을 확인했다.