양평동고2수학과외

양평동고2수학과외에서는 방과후 이동과 자습시간을 고려해, 학교 프린트의 로그부등식을 한 줄씩 다시 확인한다. 관악고등학교·선유고등학교·한강미디어고등학교 학생이 양평동성원아파트나 양평동한솔아파트 생활권으로 돌아온 뒤에도 풀이에서 놓치기 쉬운 부분은 계산보다 수직점근선과 해 구간의 연결이다.

x=2는 해가 아니라 정의역을 나누는 경계

다음 부등식을 풀어 보자.

log₂(x-2) > 0

학생의 여백 풀이에는 “점근선 x=2, 따라서 x>2”라고 적혀 있었다. 하지만 이는 로그의 정의조건만 확인한 결과다. 밑이 2이므로 2는 1보다 크고, 로그함수는 증가한다.

먼저 진수 조건을 쓰면

x-2>0 ⟹ x>2

이제 부등호의 기준인 0을 로그의 값으로 바꾼다.

0=log₂1

따라서

log₂(x-2) > log₂1

밑 2가 1보다 크므로 진수의 대소가 그대로 유지되어

x-2>1 ⟹ x>3

정답은 x>3이다. 수직점근선 x=2는 로그가 정의되는 영역과 정의되지 않는 영역을 구분하지만, 최종 해의 경계는 log₂(x-2)=0에서 생기는 x=3이다.

부등호를 말로 바꾼 뒤 식 한 줄만 고치기

풀이를 멈추고 “로그값이 0보다 크다는 것은 밑이 2일 때 진수가 1보다 크다는 뜻”이라고 말하게 한다. 그 설명에 맞춰 잘못된 줄

x-2>0 ⟹ x>2

을 다음처럼 고친다.

log₂(x-2)>0=log₂1 ⟹ x-2>1 ⟹ x>3

이때 수직점근선 x=2도 수직선에 표시한다. x=2에서는 진수가 0이므로 로그값이 존재하지 않으며, 2와 3 사이에서는 로그값이 존재하지만 0보다 작다. 경계를 나누지 않고 x>2라고 쓰면 정의역과 부등식의 해를 혼동한 것이다.

식의 순서가 바뀌어도 x=5와 1을 먼저 찾는가

다음 식으로 판단을 확인한다.

log₂(5-x)<0

먼저 진수 조건에서 5-x>0, 즉 x<5이므로 수직점근선은 x=5이다. 또한

0=log₂1

이고 밑 2는 증가하므로

log₂(5-x)<log₂1 ⟹ 5-x<1

이를 풀면 x>4이다. 정의조건 x<5와 합치면 최종 해는

4<x<5

이다. x=5는 점근선이므로 포함되지 않고, x=4에서는 로그값이 0이므로 부등호가 엄격하여 포함되지 않는다. 표현 순서가 달라져도 진수 조건, 기준값 1, 밑의 증가 여부를 스스로 표시했다면 해 구간을 정확히 정할 수 있다.