양평동고1수학과외: 정의역에 따른 이차함수 최솟값 판단
양평동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 이차부등식의 계산보다 정의역이 꼭짓점을 포함하는지를 먼저 판단하는 연습이 필요하다. 꼭짓점의 함숫값이 항상 최솟값이 되는 것은 아니기 때문이다.
꼭짓점의 값과 실제 최솟값이 달라지는 경우
다음 함수가 주어졌다고 하자.
f(x)=x²-6x+11=(x-3)²+2, 4≤x≤8
전체 실수에서 꼭짓점은 (3, 2)이므로 꼭짓점의 함숫값은 2이다. 그러나 정의역은 4≤x≤8이어서 x=3을 포함하지 않는다. 정의역 안에서는 x가 꼭짓점에서 가장 가까운 4일 때 함수값이 가장 작다.
f(4)=16-24+11=3이므로 이 구간에서의 최솟값은 3이다. 따라서 항상 성립하는 부등식은 x²-6x+11≥3이며, x²-6x+11≥2라고 쓰면 정의역의 실제 최솟값과 연결되지 않는다.
오답표에서 빠진 판단을 찾아내기
관찰된 풀이에서는 식을 완전제곱식으로 바꾼 뒤 곧바로 “최솟값은 2”라고 적었다. 풀이에는 다음과 같은 줄이 있었다.
x²-6x+11=(x-3)²+2
따라서 최솟값은 2이다.
첫 번째 줄의 계산은 맞지만, 두 번째 줄에서 정의역을 확인하지 않았다. 오류가 난 정확한 줄은 “따라서 최솟값은 2이다”이다. 이 줄 앞에 “정의역 4≤x≤8은 꼭짓점 x=3을 포함하는가?”라는 판단이 들어가야 한다.
항상 성립하는 부등식으로 다시 쓰기
오답을 고칠 때는 답만 바꾸지 않고 누락된 판단의 위치부터 표시한다.
- 누락된 단계: 정의역이 꼭짓점 x=3을 포함하는지 확인
- 정의역: 4≤x≤8
- 꼭짓점 포함 여부: 포함하지 않음
- 정의역에서 가장 가까운 끝점: x=4
- 최솟값: f(4)=3
그러므로 모든 x가 4≤x≤8을 만족할 때 (x-3)²≥1이고, 이에 따라 f(x)=(x-3)²+2≥3이다. 이처럼 항상 성립하는 이차부등식의 오른쪽 값은 꼭짓점의 함숫값이 아니라 주어진 정의역에서 실제로 얻는 최솟값과 연결해야 한다.
끝점까지 확인해야 하는 이유
정의역이 닫힌 구간이면 꼭짓점이 구간 안에 있는지 확인한 뒤, 포함되지 않을 때 양 끝점의 함수값을 비교할 수 있다. 예를 들어 정의역이 1≤x≤2라면
f(1)=1-6+11=6, f(2)=4-12+11=3
이므로 최솟값은 3이다. 꼭짓점 x=3은 구간 밖에 있으므로 꼭짓점의 값 2를 답으로 쓸 수 없다.
새 조건에서 오류 줄을 스스로 지목하기
확인 문제로 다음을 제시한다.
g(x)=x²+4x+7=(x+2)²+3, -1≤x≤4
풀이가 “꼭짓점은 (-2, 3)이므로 최솟값은 3이다”라고 끝났다면, 오류가 난 줄은 마지막 문장이다. 정의역 -1≤x≤4는 x=-2를 포함하지 않으므로 먼저 끝점의 값을 비교해야 한다.
g(-1)=1-4+7=4, g(4)=16+16+7=39이므로 이 정의역에서의 최솟값은 4이다. 새로운 문제에서도 꼭짓점의 위치, 정의역 포함 여부, 실제 최솟값을 차례로 확인하고 오류가 발생한 줄을 정확히 지목하는지 살핀다.