양평동고3수학과외

양평동 고3수학과외에서 적분식의 부호와 초기조건 점검하기

양평동에서 관악고등학교, 선유고등학교, 한강미디어고등학교로 통학한 뒤 방과 후 자습시간에 적분 오답을 다시 확인하던 학생은 부분적분 자체보다 남은 적분항의 부호와 적분상수의 처리에서 반복적으로 막혔다. 양평동성원아파트와 양평동한솔아파트 생활권에서 이동한 뒤 짧은 시간에 시험지를 고치려다 보니, 틀린 이유를 단순히 ‘계산 실수’라고만 기록하는 습관이 생긴 상태였다.

부분적분에서 틀린 줄을 특정하기

학생이 다음 부정적분을 풀었다.

∫xe^−xdx

u=x, dv=e^−xdx로 두면 du=dx, v=−e^−x이므로

∫xe^−xdx = −xe^−x − ∫(−e^−x)dx

= −xe^−x + ∫e^−xdx

= −xe^−x − e^−x + C

= −(x+1)e^−x+C

그런데 학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

∫xe^−xdx = −xe^−x − e^−x + C

이 식 자체는 맞지만, 풀이 중간에는

−xe^−x + ∫(−e^−x)dx = −xe^−x + e^−x+C

라고 적었다. ∫(−e^−x)dx=+e^−x로 처리한 부분이 오답이다. e^−x를 적분하면 −e^−x이므로, 앞의 음수와 곱해져 결과가 +e^−x가 되는 구조를 정확히 구분해야 한다.

초기조건을 식과 연결하는 과정

원시함수에 조건 F(0)=2가 추가되었다면

F(x)=−(x+1)e^−x+C

에서 x=0을 직접 대입한다.

2=−(0+1)e⁰+C=−1+C

따라서 C=3이고, 최종식은

F(x)=−(x+1)e^−x+3

이다. 학생은 이전에 적분상수를 생략한 채 답을 끝냈지만, 초기조건은 임의의 상수 C를 하나의 값으로 결정하는 조건이므로 반드시 대입해야 한다.

답안 수정과 역검산

• 틀린 줄에 ‘실수’라고 쓰지 않고, ∫(−e^−x)dx를 +e^−x로 바꾼 부호 오류라고 표시한다.
• 부분적분 공식 ∫u dv=uv−∫v du에 맞춰 u, v, du, dv를 화살표로 연결한다.
• 수정한 F(x)=−(x+1)e^−x+3에 x=0을 넣어 F(0)=2인지 확인한다.
• F′(x)=xe^−x인지 미분하여 원래 적분함수로 돌아오는지 검산한다.

실제로 F′(x)=−e^−x+(x+1)e^−x=xe^−x이므로 수정된 식이 조건과 미분 결과를 모두 만족한다.

계수를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않기 위해 다음 문제를 새로 제시했다.

G′(x)=3xe^2x, G(0)=1일 때 G(x)를 구하여라.

u=3x, dv=e^2xdx로 두면 v=분수 1/2e^2x이므로

G(x)=3/2xe^2x−∫3/2e^2xdx

=3/2xe^2x−3/4e^2x+C

초기조건 G(0)=1을 대입하면 −3/4+C=1이므로 C=7/4이다.

따라서 G(x)=e^2x(3x/2−3/4)+7/4이고, 이를 미분하면 3xe^2x가 된다. 이번에는 부분적분 뒤의 음수, 계수 1/2, 초기조건 대입을 각각 확인하면서 답보다 근거와 검산을 먼저 기록했다.