신길동중1수학과외, 수직과 수선을 작도 순서와 시간 배분으로 확인하는 방법
“직선 위의 점 O에서 수선을 그어라.” 문제를 본 학생이 자와 컴퍼스를 꺼내면서도 먼저 어느 선을 그어야 하는지 정하지 못하는 경우가 있다. 작도 과정을 외운 듯 보이지만, 실제 수행평가에서는 순서를 빠뜨리고 지필시험에서는 그림의 표시를 생략한다. 수직과 수선은 답만 맞히는 단원이 아니라, 조건을 그림에 옮기고 작도 흔적과 이유를 남기는 과정까지 확인해야 하는 주제다.
신길동에는 대영중학교와 신길중학교가 있고, 같은 영등포구의 당산서중학교·당산중학교·대림중학교는 참고 학교로 구분된다. 신길건영아파트와 신길자이아파트 등 생활권에서 통학하는 학생은 수행평가 준비와 지필시험 대비를 같은 저녁에 몰아 하다가 피로가 커질 수 있다. 따라서 이 단원에서는 공부량보다 작도 연습과 유지 문제를 어느 시간에 배치할지 먼저 정하는 방식이 필요하다.
작도 도구를 잡기 전에 확인할 것
학생이 자주 하는 행동은 문제를 끝까지 읽기 전에 선분부터 긋는 것이다. “직선 l 위의 점 P를 지나고 l에 수직인 직선을 작도하라”는 조건에서 점 P가 직선 위에 있다는 사실을 표시하지 않은 채, 눈대중으로 비슷한 직선을 그린다. 그림이 기울어져 있으면 수직처럼 보이는 선을 정답으로 착각하기도 한다.
수직은 두 직선이 만나 이루는 각이 90도인 관계이고, 수선은 한 점에서 직선에 내린 수직선 또는 그 선분을 말한다. 그러므로 그림의 모양이 아니라 작도 과정과 직각 표시로 확인해야 한다. 점과 직선의 위치, 지나야 하는 점, 수직이어야 하는 대상을 먼저 문장으로 짧게 바꿔 적는다.
한 번 틀린 작도에서 실제로 확인하는 장면
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 직선 l 위에 점 P를 표시한 뒤 컴퍼스의 중심을 P에 두고 바로 원호를 그렸다. 그러나 이 방법만으로는 P를 지나는 수선의 방향을 결정할 수 없다. 직선 l과 만나는 두 점을 만들고, 그 두 점에서 같은 반지름으로 원호를 그려 교점을 만든 뒤, P와 그 교점을 연결하는 과정이 필요하다.
학생의 답안에는 다음과 같은 흔적이 남는다.
- 직선 l 위의 점 P를 별도로 표시하지 않음
- 컴퍼스의 중심과 반지름을 바꾸면서 원호의 위치가 달라짐
- 두 원호의 교점을 표시하지 않고 눈으로 방향을 정함
- 완성한 직선에 직각 기호를 쓰지 않음
이때 “작도를 못한다”라고 정리하면 수정 지점이 흐려진다. 막힌 원인이 컴퍼스 사용법 전체인지, 두 교점을 만드는 순서를 잊은 것인지, 직각 관계를 확인하지 않은 것인지 나누어야 한다.
피곤한 저녁에는 작도와 유지 문제를 분리한다
수행평가용 작도는 손의 움직임과 순서를 천천히 확인해야 하므로 비교적 집중이 남아 있는 시간에 배치한다. 반대로 지필 유지 문제는 이미 익힌 작도 결과를 읽고 조건을 적용하는 연습이므로 짧은 시간으로 나누어도 된다. 예를 들어 수행평가 준비 시간에는 한 그림을 완성하며 중심, 원호, 교점, 연결선을 표시하고, 늦은 시간에는 “다음 중 수선의 작도 순서로 옳은 것은?”과 같은 유지 문제 한두 개만 푼다.
학생은 문제 옆에 네 칸을 만든다.
- ① 주어진 직선과 점 표시
- ② 직선과 만나는 두 점 또는 필요한 원호 표시
- ③ 같은 반지름으로 교점 만들기
- ④ 교점과 주어진 점을 연결하고 수직 관계 확인
모든 문제를 처음부터 다시 그리는 대신, 빠진 칸에 해당하는 행동만 다시 수행한다. 컴퍼스 반지름을 일정하게 유지하지 못했다면 두 점에서 같은 반지름을 잡는 연습을 한다. 직선과 수선의 관계를 답안에 쓰지 않았다면 마지막 칸에 “두 직선이 직각으로 만난다”는 문장을 적고 직각 기호를 표시한다.
초등 공백은 현재 작도를 막는 부분만 되돌린다
작도에서 선분의 길이를 비교하거나 컴퍼스를 옮기는 데 어려움이 있다고 해서 초등 도형 전체를 다시 시작할 필요는 없다. 현재 문제를 막은 선분의 끝점, 같은 길이 옮기기, 원호의 교점 확인 중 하나만 골라 두 문제로 점검한다. 예를 들어 컴퍼스를 이용해 길이가 같은 선분을 옮기는 문제를 두 개 풀었는데 중심을 바꾸지 않고 반지름을 유지한다면, 곧바로 중1 수직 작도로 돌아간다.
반대로 관련 개념을 설명할 수 있어도 실제 그림에서 원호를 생략한다면 복습을 끝내지 않는다. 정답 여부보다 “왜 이 원호를 그렸는가”, “어느 두 점을 연결해야 수직이 되는가”를 말하고 손으로 표시할 수 있는지가 기준이다.
다음 날에는 순서를 바꾼 문제로 검증한다
같은 그림을 바로 다시 맞히는 것은 기억을 확인하는 데 그칠 수 있다. 다음 날에는 작도 순서를 섞어 제시한다. 예를 들어 ‘P와 원호의 교점을 연결한다’, ‘직선 l 위에서 P를 기준으로 같은 거리에 있는 두 점을 잡는다’, ‘두 점에서 같은 반지름의 원호를 그린다’를 섞어 놓고 올바른 순서를 고르게 한다. 그다음 새로운 그림에서 점의 이름을 바꾸고, 직선의 기울기도 달리해 도움 없이 작도하게 한다.
또한 직선 위의 점을 지나는 수선과 직선 밖의 점에서 직선에 내린 수선을 구분해 제시한다. 학생이 조건을 읽고 필요한 보조선을 스스로 정하며, 완성 후 직각 기호와 작도 흔적을 남기는지 확인한다. 수행평가와 지필 문제를 서로 다른 시간에 배치했을 때에도 이 과정을 재현한다면, 단순히 익숙한 그림을 따라 그린 것이 아니라 수직과 수선의 조건을 적용한 것으로 볼 수 있다.
중2 선행을 시작하기 전에는 중1 수직과 수선 문제를 보고 작도 순서와 근거를 설명할 수 있는지 확인한다. 다음 날 첫 문제를 도움 없이 시작하고, 일주일 뒤 순서가 바뀐 문제에서도 필요한 초등 개념만 복구한 뒤 현재 문제로 돌아온다면 해당 훈련을 종료할 수 있다.