영등포중1수학과외, 맞꼭지각 문제에서 불필요한 숫자를 걸러내는 서술형 훈련
“두 직선이 만나 생긴 맞꼭지각 중 한 각이 68°이고, 주변에 있는 삼각형의 변의 길이가 5cm, 7cm일 때 맞꼭지각의 크기를 구하여라.”
이 문제에서 맞꼭지각의 크기를 구하는 데 필요한 정보는 68°라는 한 각의 크기뿐이다. 5cm와 7cm는 이 질문에 사용되지 않는다. 그러나 한 중1 학생은 문제에 나온 숫자를 모두 표시한 뒤, 68+5+7을 계산하거나 삼각형 조건을 찾느라 정작 맞꼭지각의 관계를 놓쳤다. 이런 오답은 계산 능력보다 먼저 문장에서 무엇이 질문과 연결되는지 구분하는 과정에서 생긴다.
숫자가 많아질수록 먼저 확인할 것
맞꼭지각은 두 직선이 교차할 때 서로 마주 보는 각이며 크기가 같다. 따라서 한 각이 68°이면 마주 보는 각은 68°이다. 이 문제에서 사용할 핵심 문장은 ‘맞꼭지각은 크기가 같다’와 ‘한 각은 68°이다’이다. 변의 길이 5cm와 7cm는 도형 안에 함께 제시되었지만, 각의 크기를 묻는 조건과 직접 연결되지 않는다.
학생이 문제를 읽자마자 숫자에 동그라미를 치고 계산하려 한다면 다음 세 칸으로 나누어 적게 한다.
- 구하는 것: 맞꼭지각의 크기
- 직접 연결된 조건: 한 각의 크기 68°
- 이번 질문에 쓰지 않는 정보: 변의 길이 5cm, 7cm
이렇게 하면 숫자를 없애는 것이 아니라, 각각의 숫자가 어떤 양을 설명하는지 확인하게 된다. 각의 크기를 구하는 문제에 길이 단위인 cm가 등장했다면, 단위가 다른 정보가 계산 대상인지 한 번 더 묻는 습관도 만들 수 있다.
교과서 예제와 학교 프린트가 달라 보이는 이유
교과서에서는 두 직선이 단순하게 교차한 그림과 68°라는 각도만 제시할 수 있다. 학교 프린트에서는 같은 그림 주변에 삼각형의 변, 선분의 길이, 다른 각의 표시를 추가하고 “다음 중 옳은 설명을 고르시오”처럼 표현을 바꿀 수 있다. 겉모양은 달라졌지만 질문이 맞꼭지각의 크기를 묻는다면 적용하는 원리는 변하지 않는다.
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 교과서 예제는 바로 풀었지만 학교 프린트의 “교점 O에서 마주 보는 각의 크기를 구하시오”라는 문장에서 멈출 수 있다. 학생은 “삼각형의 둘레도 구해야 하나요?”, “5cm를 먼저 써야 하나요?”라고 질문한다. 이때 풀이를 대신 알려 주기보다 질문을 한 문장으로 바꾸게 한다.
“구하는 값은 각의 크기이고, 5cm와 7cm는 각의 크기와 직접 연결되는 조건인지 모르겠습니다.”
이 질문은 단순히 “모르겠다”라고 말하는 것보다 막힌 위치를 분명히 보여 준다. 이후에는 문제의 질문 부분에 밑줄을 긋고, 답을 정하는 성질을 옆에 짧게 적는다.
맞꼭지각 문제라면 다음과 같이 정리할 수 있다.
∠A와 ∠C는 맞꼭지각이므로 ∠A=∠C이다.
∠A=68°이므로 ∠C=68°이다.
서술형에서 식이나 답만 쓰는 학생이라면 마지막에 ‘맞꼭지각의 크기는 같다’는 근거를 남기게 한다. 길이 단위가 함께 나온 경우에는 답에 cm를 붙이지 않고 °를 붙이는지도 확인한다. 각의 크기와 선분의 길이를 같은 종류의 양처럼 다루지 않도록 하기 위해서다.
오답을 복습 목록에서 빼는 기준
오답을 많이 모으는 것보다 어떤 문제를 다시 풀 필요가 없는지 판단하는 기준이 필요하다. 다음 네 과정을 도움 없이 수행하면 해당 유형을 복습 목록에서 뺄 수 있다.
- 문장에서 구하는 양에 밑줄을 긋는다.
- 구하는 양과 직접 연결된 조건만 골라낸다.
- 사용하지 않는 숫자와 그 이유를 말한다.
- 성질과 단위를 포함한 서술형 답을 작성한다.
예를 들어 “맞꼭지각의 한 각이 73°이고, 주변 선분의 길이가 4cm와 9cm일 때 맞꼭지각의 크기를 구하시오”라는 문제에서 학생이 “73°입니다. 맞꼭지각은 크기가 같고, 길이 정보는 이번 각도 계산에 사용하지 않습니다.”라고 설명한다면 단순히 답만 맞힌 것보다 높은 수준으로 확인된 것이다.
다음 날과 변형 문제에서 다시 확인하기
같은 문제를 곧바로 다시 풀게 하면 풀이를 외운 것인지 판단하기 어렵다. 다음 날에는 숫자를 68°에서 112°로 바꾸고, 길이 정보를 6cm와 11cm로 바꾼다. 질문은 그대로 맞꼭지각의 크기를 묻되, 그림을 회전하거나 각의 이름 순서를 바꿀 수 있다. 이때 학생이 112°를 그대로 답하고 길이 숫자를 계산에 넣지 않는지 본다.
그다음에는 “한 각의 크기가 73°인 두 직선의 교점 주변에 길이 4cm인 선분과 9cm인 선분이 표시되어 있다. 맞꼭지각의 크기와 두 각의 관계를 서술하시오”처럼 조건을 추가한다. 답안에는 73°라는 결과뿐 아니라 맞꼭지각이라는 관계와 사용하지 않은 길이 정보가 왜 필요한 조건이 아닌지 남겨야 한다.
일주일 뒤에는 학교 프린트와 문제집에서 표현이 서로 다른 문제를 한 줄에 놓고 비교한다. 그림, 숫자, 질문 표현 중 무엇이 바뀌었는지 표시한 뒤에도 같은 개념으로 묶을 수 있는지 확인한다. 표나 그래프 자료가 함께 제시된 경우에도 먼저 단위를 확인하고, 질문이 각의 크기를 요구하는지 자료의 값을 요구하는지 구분한다. 문제의 겉모양이 바뀌어도 구하는 양과 직접 연결된 조건을 찾아내면 독립적으로 해결한 것으로 본다.
당산동·문래동·신길동·양평동·여의동처럼 생활권과 학교까지의 이동 시간이 서로 다른 영등포 학생은 같은 분량을 고정하기보다 실제 풀이 가능 시간에 맞춰 이 확인 과정을 나누어 진행할 수 있다. 피곤한 날에는 고난도 문제 수를 억지로 늘리기보다 한 문제의 조건 표시와 서술형 근거 작성만 정확히 끝내는 편이 효과적이다. 영등포중1수학과외에서는 이처럼 맞힌 문제도 어떤 조건을 사용했고 어떤 숫자를 제외했는지 설명할 수 있을 때 해당 오답 항목을 종료한다.