신길동고2수학과외

신길동고2수학과외, 로그부등식에서 점근선과 해 구간을 함께 읽는 연습

신길동에서 대영고등학교, 장훈고등학교, 영신고등학교, 영등포여자고등학교로 통학하며 고2 수학 문제를 풀 때는 풀이 공간이 짧아 조건을 생략하기 쉽다. 특히 신길건영아파트나 신길자이아파트 생활권에서 이동과 과제가 이어진 뒤에는 답만 빠르게 적다가 로그함수의 정의역과 수직점근선을 놓치는 장면이 나타날 수 있다.

x=2를 빼고 시작해야 하는 이유

문제는 다음과 같다.

log₂(x-2) > 0

그래프를 떠올리기 전에 로그의 진수 조건부터 적는다.

x-2 > 0 이므로 x > 2이다. 따라서 그래프의 수직점근선은 x=2이고, x=2를 포함한 왼쪽 영역에서는 로그함수가 정의되지 않는다.

밑 2는 1보다 크므로 log₂t는 증가함수이다. 따라서

log₂(x-2) > 0
⇔ x-2 > 2⁰
⇔ x-2 > 1
⇔ x > 3

정답은 (3, ∞)이다. 이때 x=2는 단순히 답 구간의 끝점이 아니라, 로그함수가 시작되기 위한 정의역의 경계이자 그래프의 수직점근선이다.

점근선을 답의 경계로 잘못 읽은 풀이

관찰된 답안에는 점근선 x=2를 표시하지 않은 채, “log₂(x-2)>0이므로 x-2>0, 따라서 x>2”라고 적혀 있었다. 이 결론은 로그식이 존재하기 위한 조건일 뿐, 부등식을 해결한 결과는 아니다.

또 다른 풀이에서는 x=2를 경계로 구간을 나누지 않고 그래프에서 오른쪽 부분만 대략 표시했다. x>2라는 정의조건과 x>3이라는 부등식의 해를 구분하지 못한 것이다. 조건 칸에는 x>2, 계산 칸에는 x>3을 각각 남겨야 한다.

조건·계산·검산 세 칸으로 오류 위치를 고정하기

같은 유형을 풀 때 답안을 세 칸으로 나눈다.

1. 조건: x-2>0, 수직점근선 x=2
2. 계산: 밑 2>1이므로 x-2>1, 따라서 x>3
3. 검산: x=4를 대입하면 log₂2=1>0, x=2.5를 대입하면 log₂0.5=-1<0

오답이 나오면 세 칸 전체를 다시 베끼지 않고, 조건·계산·검산 중 오류가 생긴 칸에 표시한 뒤 그 칸만 다시 쓴다. 이 과정을 통해 x=2는 정의역에서 제외하는 값이고, x=3은 부등식의 경계가 되는 값이라는 차이를 분명히 한다.

그래프로 바꿔도 x=3의 오른쪽을 선택하는가

새 문제는 식이 아니라 그래프로 제시한다. 함수 y=log₂(x-2)의 그래프에서 수직점근선은 x=2이고, x축과 만나는 점은 (3, 0)이다. log₂(x-2)>0은 그래프가 x축보다 위에 있는 부분을 묻는다.

그래프의 정의역은 x>2이며, x축 위로 올라가는 지점은 x=3보다 오른쪽이다. 따라서 그래프 표현에서도 해는 x>3으로 연결되어야 한다. x=2부터 오른쪽 전체를 해로 칠하거나, 점근선 왼쪽까지 색칠한다면 조건과 그래프의 관계를 다시 확인해야 한다.

마지막으로 x=3은 log₂1=0이므로 엄격한 부등식에 포함되지 않는다. 점근선 x=2와 해의 경계 x=3을 각각 표시하고, 선택한 구간에 시험값을 대입하면 새로운 표현에서도 정의조건과 해 구간을 함께 판단할 수 있다.