신길동 고3수학과외, 부분적분에서 먼저 확인할 것
신길동에서 대영고등학교, 장훈고등학교, 영신고등학교, 영등포여자고등학교로 통학하는 고3 학생은 이동 시간과 과제 부담 때문에 풀이 과정을 짧게 적는 경우가 있다. 그러나 부분적분은 공식을 기억하는 것보다 어떤 항을 미분하고 어떤 항을 적분할지 정하는 과정이 핵심이다.
공식을 바로 대입해 생긴 오류
학생은 다음 문제에서 \(u\)와 \(dv\)를 정하지 않은 채 계산을 시작했다.
\(\displaystyle \int xe^x\,dx\)
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int xe^x\,dx\)
이 식은 잘못된 중간식이다. 부분적분 공식은
\(\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du\)
이므로 \(u=x,\;dv=e^x dx\)로 정했다면 \(du=dx,\;v=e^x\)이다. 따라서 \(\int u\,dv\)가 아니라 \(\int v\,du\)를 빼야 한다.
변수 관계를 확인한 뒤 다시 계산하기
- 틀린 줄에 표시한다: \(\displaystyle xe^x-\int xe^x dx\)
- \(u=x,\;dv=e^x dx\)로 정하고 \(du=dx,\;v=e^x\)인지 확인한다.
- 공식에 대입한다: \(\displaystyle \int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx\)
- 계산을 마친다: \(\displaystyle \int xe^x dx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)
미분으로 검산하면
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\{e^x(x-1)+C\}=e^x(x-1)+e^x=xe^x\)
이므로 원래 피적분함수와 일치한다. 원시함수는 항상 적분상수 \(C\)를 포함하며, 예를 들어 \(F(0)=2\)라는 조건이 추가되면 \(F(x)=e^x(x-1)+C\)에 \(x=0\)을 대입하여 \(-1+C=2\), 즉 \(C=3\)으로 결정한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제를 해설 없이 먼저 풀게 했다.
\(\displaystyle \int(2x+1)e^x\,dx\)
\(u=2x+1,\;dv=e^x dx\)로 두면 \(du=2dx,\;v=e^x\)이므로
\(\displaystyle \int(2x+1)e^x dx=(2x+1)e^x-\int2e^x dx=(2x-1)e^x+C\)
후보식에 \(x=0\)을 대입하거나 직접 미분하여 \((2x+1)e^x\)가 나오는지 확인하면, \(v\,du\)를 사용하지 않은 후보를 스스로 제거할 수 있다.