신길동고1수학과외, 매개변수 부등식의 해 범위가 바뀌는 순간
신길동에서 대영고등학교, 장훈고등학교, 영신고등학교, 영등포여자고등학교로 통학하며 과제와 시험을 함께 준비할 때는 풀이의 첫 판단을 짧게 기록하는 습관이 필요하다. 특히 매개변수가 들어간 부등식은 계산보다 계수의 부호와 0이 되는 기준을 먼저 찾아야 해의 방향과 범위가 달라진다.
계수 하나가 해의 방향을 바꾸는 식
다음 부등식을 살펴보자.
(a-2)x+3 > 5
상수항을 옮기면 (a-2)x > 2가 된다. 이때 x를 바로 나누기 전에 x의 계수인 a-2의 부호를 확인해야 한다.
- a>2이면 a-2>0이므로 x > 2/(a-2)
- a<2이면 a-2<0이므로 부등호 방향이 바뀌어 x < 2/(a-2)
- a=2이면 0·x>2, 즉 0>2가 되어 해가 없다.
따라서 해의 범위가 달라지는 기준은 임의의 숫자가 아니라 a-2=0이 되는 a=2이다.
답안에서 빠진 한 줄이 만든 오답
학생의 답안에는 (a-2)x>2 다음에 곧바로 x>2/(a-2)라고 적혀 있었다. a가 2보다 작은 경우까지 같은 방향으로 정리했기 때문에, 예를 들어 a=1일 때 실제 부등식은 -x>2이므로 x<-2인데 학생의 식은 x>-2가 된다.
질문을 받으면 “a-2의 부호를 나눠야 해요”라고 답했지만, 혼자 풀 때는 그 판단을 적지 않고 다음 계산으로 넘어갔다. 이는 공식을 전혀 모르는 상태라기보다 매개변수의 값에 따라 해의 형태가 바뀐다는 전환 지점을 풀이에 표시하지 못한 상태다.
풀이 앞뒤에 기준을 남기는 연습
문제의 왼쪽을 정리한 직후 답안 여백에 “해의 범위 변화 기준: a-2=0, 즉 a=2”라고 적는다. 그다음 a의 범위를 세 구간으로 나누어 계산한다. 풀이를 마친 뒤에는 실제 값을 하나씩 대입해 방향을 확인한다.
a=3이면 원래 식은 x+3>5이므로 x>2이고, 공식 x>2/(3-2)와 일치한다. a=1이면 -x+3>5이므로 -x>2, 따라서 x<-2이다. 마지막으로 a=2를 넣으면 3>5가 되어 해가 없으므로, a=2를 두 분수식 중 어느 쪽에도 포함시키면 안 된다.
통학 뒤 짧은 시간에도 확인할 기록
신길건영아파트나 신길자이아파트 생활권에서 귀가 후 학교 프린트를 복습할 때 모든 문제를 길게 다시 풀 필요는 없다. 매개변수 부등식에서는 답 옆에 계수식, 0이 되는 값, 부호별 해의 방향만 남겼는지 확인하면 된다. 틀린 줄을 고친 뒤에도 이 기준을 다시 적어야 다음 문제에서 같은 판단을 재현할 수 있다.
조건을 섞어 제시한 문제에서 확인하기
훈련 여부는 같은 식을 반복해 맞히는 것으로 판단하지 않는다. 다음처럼 조건의 순서를 바꾼 문제를 제시한다.
(k+1)x-4 ≤ 2
학생이 먼저 k+1=0, 즉 k=-1을 기준으로 잡는지 본다. k>-1이면 x≤6/(k+1), k<-1이면 부등호가 바뀌어 x≥6/(k+1), k=-1이면 -4≤2가 항상 참이므로 모든 실수가 해다.
이 문제에서 풀이 전에 기준을 기록하고, 마지막에 k=-2와 k=2를 각각 대입해 방향을 검산한다면 이전에 빠뜨린 판단을 새로운 조건에서도 스스로 수행한 것이다. 반대로 중학교 과정에서 미완료된 부등식의 기본 정리나 음수로 나눌 때의 방향 전환을 설명하지 못한다면 그 부분만 짧게 복구한 뒤 다시 현재 문제를 처음부터 풀게 한다.