로그 치환 뒤에도 해의 범위를 다시 세우는 문래동 고2수학과외 수업
문래역과 문래남성아파트 생활권에서 통학하는 학생들은 학교별 프린트와 주간 일정에 따라 풀이를 이어 가는 시간이 달라질 수 있다. 이때 로그부등식은 앞 문제의 풀이 틀을 기억하는 것보다, 치환한 문자의 범위와 원래 변수로 돌아가는 과정을 매번 확인하는 일이 중요하다.
t의 부등식만 풀고 x의 범위를 생략한 풀이
다음 부등식을 풀어 보자.
(log2x)2−3log2x−4≤0
학생은 t=log2x로 치환한 뒤
t2−3t−4≤0
(t−4)(t+1)≤0
이므로 −1≤t≤4까지는 정확하게 구했다. 그러나 답을 곧바로 −1≤x≤4라고 적었다. 치환변수 t와 원래 변수 x를 같은 수로 취급한 것이다.
치환식에 따라 다시 돌아가면
−1≤log2x≤4
이고, 밑 2는 1보다 크므로 로그함수는 증가한다. 따라서 양 끝에 2를 밑으로 하는 지수함수를 적용하면
2−1≤x≤24
즉 정답은 1/2≤x≤16이다. 이 범위는 자동으로 x>0을 만족하며, 로그의 진수 조건도 확인된다.
치환한 순간 적어야 할 두 줄
이 유형에서는 계산을 시작할 때 다음을 함께 기록한다.
t=log2x, x>0, t∈R
그 뒤 이차부등식을 풀고, 마지막에는 반드시 t의 범위 → x의 범위 순서로 되돌린다. 이미 풀었던 문제와 계수나 부호가 달라졌다면 이전 답의 범위를 옮겨 적지 않고, 새로 얻은 경계값에 지수변환을 적용해야 한다.
오류가 시작된 줄부터 다시 연결하기
학생에게 전체 풀이를 처음부터 베껴 쓰게 하지 않고, 누락이 시작된 줄에서 멈추게 한다. 위 문제라면
−1≤t≤4
다음 줄에
t=log2x이므로 −1≤log2x≤4
⇒ 2−1≤x≤24
를 직접 이어 쓰게 한다. 이때 밑이 2이므로 부등호 방향이 유지된다는 판단과 x>0 조건을 답안에 남겨야 한다.
계수와 부호가 바뀐 짧은 확인 문제
이제 다음 문제를 계산량을 줄여 제시한다.
(log2x)2+log2x−6>0
t=log2x로 두면
t2+t−6>0
(t+3)(t−2)>0
이므로 t<−3 또는 t>2이다. 따라서
log2x<−3 또는 log2x>2
이고, 밑 2가 1보다 크므로
0<x<1/8 또는 x>4
가 된다. 여기서도 t의 해를 x의 해처럼 적지 않고, 치환식을 이용해 경계값을 다시 변환했는지 확인한다.