문래동고1수학과외, 인수의 부호가 바뀌는 경계점 찾기
문래역 주변에서 학교 프린트와 교과서 문제를 번갈아 풀다 보면 인수분해의 숫자는 맞혔지만 부호를 틀리는 경우가 나타난다. 이때 필요한 것은 마지막에 부호를 감으로 붙이는 습관이 아니라, 각 인수가 0이 되는 지점을 먼저 표시하는 것이다.
숫자는 맞았지만 부호를 거꾸로 쓴 식
예를 들어 다음 식을 인수분해한다고 하자.
x2 - x - 12
두 수의 곱이 -12이고 합이 -1이므로 숫자 3과 4를 선택할 수 있다. 그런데 학생은 답안에
(x + 3)(x + 4)
라고 적었다. 이 식을 전개하면 x2 + 7x + 12가 되어 원래 식과 다르다. 숫자만 먼저 정한 뒤 부호를 마지막에 붙였기 때문에 곱의 부호와 가운데항의 부호를 함께 확인하지 않은 것이다.
부호 변화가 일어나는 두 경계점
인수의 부호는 각 인수가 0이 되는 지점에서 바뀔 수 있다. 이 문제에서는 인수를 다음과 같이 생각한다.
(x - 4)(x + 3)
- x - 4 = 0일 때 x = 4
- x + 3 = 0일 때 x = -3
수직선에 -3과 4를 표시하면 세 구간이 생긴다. x < -3에서는 두 인수가 모두 음수이므로 곱은 양수이다. -3 < x < 4에서는 첫 번째 인수 x - 4는 음수이고 두 번째 인수 x + 3은 양수이므로 곱은 음수이다. x > 4에서는 두 인수가 모두 양수라서 곱은 다시 양수가 된다.
따라서 곱의 부호는 양수, 음수, 양수 순서로 바뀐다. 경계점 자체에서는 인수 하나가 0이므로 곱도 0이다.
학생 답안에 남겨야 할 판단
풀이를 시작할 때 ‘경계점은 -3과 4’라고 적고, 각 구간에서 인수의 부호를 짧게 표시하게 한다. 그러면 숫자 3과 4를 찾은 뒤 부호를 임의로 정하는 대신,
(x - 4)(x + 3) = x2 - x - 12
처럼 가운데항의 부호와 상수항의 부호를 동시에 검산할 수 있다. 학생이 이전처럼 정답만 다시 적는 것이 아니라 경계점과 구간별 부호를 실제로 기록하는지가 수정 여부를 보여준다.
조건을 바꾼 새 문항에서 확인하기
수치를 바꾸어 다음 부등식을 제시한다.
(x - 5)(x + 2) < 0
먼저 학생이 x = -2와 x = 5를 경계점으로 찾는지 본다. -2 < x < 5에서는 x - 5가 음수이고 x + 2가 양수이므로 곱이 음수이다. 따라서 해는
-2 < x < 5
이다. 양끝에서는 곱이 0이므로 포함하지 않는다. 새로운 수치에서도 경계점을 먼저 표시하고 부호를 판정했다면, 같은 식을 반복한 것이 아니라 판단 순서를 스스로 적용한 것이다.
문래동에서 통학하는 학생의 주간 일정은 학교와 이동 시간에 따라 다를 수 있으므로, 짧은 풀이 시간에는 긴 설명보다 이처럼 ‘인수가 0이 되는 값 → 구간별 부호 → 부등식의 범위’가 답안에 남는지를 확인하는 편이 효과적이다. 표나 그래프가 함께 제시된 문항에서는 제목과 단위를 먼저 읽고, 문제와 직접 관련 없는 정보는 제외한 뒤 같은 부호 판단을 이어 가도록 한다.