문래동 고3 수학과외에서 확인한 치환적분의 조건 처리
문래동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 같은 영등포구의 대영고등학교·관악고등학교·여의도고등학교·장훈고등학교·영신고등학교 등을 통학권 참고 범위로 볼 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정은 다르므로, 이번에는 학생이 실제 풀이에서 보인 치환적분의 오류를 중심으로 점검했다.
초기조건을 대입하기 전에 생긴 부호 오류
학생은 다음 조건을 만족하는 원시함수 \(F(x)\)를 구하는 과정에서 첫 줄에 밑줄을 긋지 않고 계산을 이어 갔다.
\(F'(x)=\dfrac{\cos x}{(1+\sin x)^2},\quad F(0)=2\)
치환변수 \(u=1+\sin x\)를 사용하면 반드시
\(du=\cos x\,dx\)
를 함께 써야 한다. 그런데 학생은 이를 \(du=-\cos x\,dx\)로 잘못 적어 다음과 같이 계산했다.
오답: \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{1+\sin x}+C\)
이 식은 미분하면 \(\displaystyle F'(x)=-\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}\)가 되므로 주어진 도함수와 부호가 반대다. 또한 \(F(0)=2\)를 대입하면 \(1+C=2\)이지만, 초기조건만 맞고 도함수 조건은 만족하지 못한다.
조건과 미분관계를 다시 연결한 수정
- 틀린 줄 표시: \(du=-\cos x\,dx\)에 밑줄을 긋고, \(u=1+\sin x\)를 미분하면 부호가 양수임을 확인한다.
- 변수 관계 확인: \(du=\cos x\,dx\), 따라서 \(\displaystyle \int\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}\,dx=\int u^{-2}\,du\)이다.
- 식 수정: \(\displaystyle F(x)=-u^{-1}+C=-\frac1{1+\sin x}+C\).
- 초기조건 대입: \(F(0)=-1+C=2\)이므로 \(C=3\).
따라서 정확한 답은
\(\displaystyle F(x)=3-\frac1{1+\sin x}\)
이다. 역검산하면
\(\displaystyle F'(x)=-\left(-(1+\sin x)^{-2}\cos x\right)=\frac{\cos x}{(1+\sin x)^2}\)
이고, \(F(0)=3-1=2\)도 성립한다. 학생은 답만 고치는 대신 치환변수의 미분관계와 초기조건을 각각 다시 대입해 두 조건을 모두 확인하도록 연습했다.
함수 형태와 조건을 바꾼 독립 검증
같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.
\(G'(x)=\dfrac{2\cos x}{(2+\sin x)^3},\quad G\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\)
\(v=2+\sin x\)로 두면 \(dv=\cos x\,dx\)이므로
\(\displaystyle G(x)=\int 2v^{-3}\,dv=-v^{-2}+C=-\frac1{(2+\sin x)^2}+C\)
이다. 초기조건의 위치가 \(x=0\)에서 \(x=\frac{\pi}{2}\)로 바뀌었으므로
\(\displaystyle 1=-\frac1{3^2}+C\), 따라서 \(\displaystyle C=\frac{10}{9}\).
검산하면
\(\displaystyle G'(x)=\frac{2\cos x}{(2+\sin x)^3}\),
\(\displaystyle G\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac19+\frac{10}{9}=1\)
이다. 새 문제에서도 학생은 계산 결과보다 \(dv=\cos x\,dx\)를 먼저 확인하고, 바뀐 초기조건을 마지막에 대입한 뒤 미분과 조건을 역검산했다.