당산동고2수학과외

당산동고2수학과외, 치환한 로그변수의 범위를 끝까지 되돌리는 연습

당산역과 당산삼성아파트 생활권에서 학교와 귀가 시간이 달라지면, 짧은 풀이 시간 안에 로그부등식의 계산 줄을 정확히 이어 가는 일이 중요해진다. 당산동 주소의 고등학교가 확인된 것은 아니므로 특정 학교의 출제 경향을 단정할 수는 없지만, 영등포구의 대영고등학교·관악고등학교·여의도고등학교 등 통학권에서 접할 수 있는 고2 수학 문제를 기준으로 풀이를 점검할 수 있다.

마지막 답만 고친 풀이에서 빠진 한 줄

다음 부등식을 풀던 풀이에서 오류가 발견되었다.

(log₂x)² − 3log₂x − 4 ≤ 0

학생은 t = log₂x로 치환한 뒤

t² − 3t − 4 ≤ 0
(t − 4)(t + 1) ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 4

까지는 바르게 계산했다. 그러나 마지막 줄을 0 < x ≤ 16이라고 적었다. 이때 단순히 끝값 16만 고치는 방식으로는 오류의 원인을 찾을 수 없다. 빠진 것은 t = log₂x를 원래 변수로 되돌리는 과정이다.

치환변수의 범위와 원래 변수의 조건은 구분한다

로그의 진수 조건에서 먼저 x > 0이다. 따라서 t = log₂x는 x가 양수일 때 모든 실수값을 가질 수 있다. 즉 t에 별도의 부등식 범위를 임의로 붙이지 않는다.

−1 ≤ log₂x ≤ 4에서 밑 2는 1보다 크므로 부등호 방향이 유지된다.

2⁻¹ ≤ x ≤ 2⁴
따라서 1/2 ≤ x ≤ 16이다.

학생의 답인 0 < x ≤ 16은 아래의 간단한 대입으로 틀렸음을 확인할 수 있다. x = 1/4이면 x는 0보다 크고 16 이하이므로 학생의 답에는 포함되지만,

(log₂(1/4))² − 3log₂(1/4) − 4
= (−2)² − 3(−2) − 4
= 6 > 0

이므로 원래 부등식을 만족하지 않는다. 답안에는 반드시 t의 범위를 구한 뒤 x로 변환하는 줄을 남겨야 한다.

대입 검산으로 오류가 난 계산 줄을 찾기

오답표에는 다음 세 줄을 구분해 기록한다.

1. 진수 조건: x > 0
2. 치환 후 풀이: −1 ≤ t ≤ 4
3. 원래 변수로 복원: 2⁻¹ ≤ x ≤ 2⁴

이렇게 쓰면 마지막 값만 바꾸는 것이 아니라, t의 부등식을 x의 부등식으로 바꾸는 과정이 보존된다. 특히 밑이 1보다 큰 2이므로 방향이 그대로라는 판단도 함께 확인할 수 있다.

밑과 진수가 바뀐 문제에서 다시 확인하기

다음 문제에서는 앞의 숫자와 진수를 바꾼다.

(log₃(x − 2))² − log₃(x − 2) − 2 ≤ 0

먼저 진수 조건은 x − 2 > 0, 즉 x > 2이다. u = log₃(x − 2)로 두면

u² − u − 2 ≤ 0
(u − 2)(u + 1) ≤ 0
−1 ≤ u ≤ 2

밑 3은 1보다 크므로

3⁻¹ ≤ x − 2 ≤ 3²
1/3 ≤ x − 2 ≤ 9
따라서 7/3 ≤ x ≤ 11이다.

x = 2를 답에 포함하면 log₃(x − 2)의 진수가 0이 되어 정의되지 않는다. 새로운 문제에서도 진수 조건을 먼저 적고, 치환변수의 부등식을 원래 로그식으로 되돌린 뒤, 마지막으로 원래 변수의 범위를 확인해야 한다.