당산동고1수학과외 분수부등식의 제외값과 해의 범위
당산역을 지나 귀가한 뒤 학교 프린트를 짧게 정리하는 상황에서는 계산을 빨리 끝내려는 행동이 나타나기 쉽다. 분수부등식은 부등호 방향만 맞추는 문제가 아니라, 분모가 0이 되는 값을 처음부터 해에서 제외해야 하는 문제다.
약분 전에 표시해야 하는 값
다음 부등식을 살펴보자.
① (x+1)/(x-2) > 0
분모가 0이 되는 x=2에서는 원래 식이 정의되지 않는다. 따라서 풀이의 출발점에 x≠2를 적어야 한다. 경계값을 정하는 수는 분자의 영점인 x=-1과 분모의 영점인 x=2이다.
수직선의 구간별 부호를 조사하면
- x<-1에서는 분자와 분모가 모두 음수이므로 분수는 양수
- -1<x<2에서는 분자는 양수, 분모는 음수이므로 분수는 음수
- x>2에서는 분자와 분모가 모두 양수이므로 분수는 양수
분자는 x=-1에서 0이 되지만 부등호가 엄격한 >0이므로 포함하지 않는다. 분모의 영점 x=2도 애초에 식이 정의되지 않으므로 포함할 수 없다. 해는 x<-1 또는 x>2이다.
답안에서 빠진 한 줄이 만든 오류
관찰된 답안에는 부호표를 작성한 뒤 곧바로 x<-1 또는 x>2를 적었지만, 여백이나 풀이 과정 어디에도 x≠2라는 표시가 없었다. 이번 예제에서는 최종 해가 우연히 x=2를 포함하지 않아 답이 맞아 보일 수 있다. 그러나 이 확인이 빠지면 다른 문제에서 제외값을 해에 넣을 위험이 생긴다.
분수부등식에서는 ‘분자와 분모가 0이 되는 값’을 구분해 적는다. 분자의 영점은 부등호에 따라 포함 여부를 판단하지만, 분모의 영점은 부등호와 관계없이 제외한다.
빠진 위치부터 다시 쓰는 수정 과정
오답을 통째로 지우지 않고 분모를 확인해야 하는 줄 앞에 표시를 넣는다.
x-2≠0 → x≠2
그다음 경계값을 배열한다.
-1 2
각 구간에서 부호를 조사하고, 마지막에 해를 정리한다. 이때 x=-1은 분수를 0으로 만들므로 엄격한 부등식에서는 제외하고, x=2는 분모를 0으로 만들므로 항상 제외한다. 이 두 제외 이유를 서로 같다고 쓰지 않는 것이 중요하다.
표현 순서를 바꾼 문제에서 확인하기
이후에는 식의 모양과 배치가 달라진 문제를 제시한다.
② (3-x)/(x+4) ≤ 0
먼저 분모 조건에서 x≠-4, 분자 조건에서 x=3을 얻는다. 구간을 나누면
- x<-4: 분자 양수, 분모 음수이므로 음수
- -4<x<3: 분자 양수, 분모 양수이므로 양수
- x>3: 분자 음수, 분모 양수이므로 음수
부등호가 ≤이므로 분자를 0으로 만드는 x=3은 포함된다. 하지만 분모를 0으로 만드는 x=-4는 제외된다. 따라서 해는 x<-4 또는 -4<x≤3이다.
식을 좌우로 바꾸거나 항의 순서를 바꾼 뒤에도 숫자의 모양이 아니라 같은 문자 부분과 그 계수를 기준으로 식을 읽는지 살핀다. 예를 들어 3-x를 -x+3으로 바꾸어도 문자 부분은 x이고, 부호와 계수 관계는 그대로다. 회전된 도형처럼 조건의 배치가 달라진 자료에서도 학생이 기준을 스스로 찾아 분모의 제외값과 항의 순서를 정확히 설명하면, 단순 암기가 아닌 적용으로 판단한다.