당산동고3수학과외

당산동 고3수학과외에서 적분 풀이의 조건을 남기는 연습

당산동은 당산역과 당산삼성아파트가 있는 생활권이며, 해당 지역명 주소의 고등학교는 확인되지 않는다. 대영고등학교·관악고등학교·여의도고등학교·장훈고등학교·영신고등학교 등 영등포구 내 학교를 통학권 참고 대상으로 볼 수 있다. 통학과 과제가 겹치는 시기일수록 풀이를 처음부터 다시 쓰기보다, 맞는 중간식을 보존하고 조건이 빠진 줄을 찾아내는 습관이 필요하다.

dx를 바꾸지 않은 줄에서 생긴 오류

학생은 다음 부정적분을 풀었다.

∫ x√(x²+1) dx

풀이에서 u=x²+1까지는 정확했다. 그러나 다음 줄을

du=2x dx인데, ∫ x√u du = (2/3)u^3/2+C

라고 적었다. 이 식은 오답이다. 치환 뒤에도 dx를 그대로 남긴 채 du로 적분했고, x dx와 du 사이의 계수 관계도 반영하지 않았기 때문이다.

맞는 중간식은 지우지 않고 계수와 조건을 표시하기

학생은 예전처럼 풀이 전체를 지우지 않고, 틀린 줄에 동그라미를 친 뒤 변수 관계를 다시 확인했다.

• u=x²+1을 먼저 표시한다.
• 미분하면 du=2x dx이므로 x dx=du/2임을 원으로 묶는다.
• 따라서 적분을 ∫ x√(x²+1)dx = 1/2∫u^1/2du로 수정한다.
• 계산하면 1/2·(2/3)u^3/2+C=1/3(x²+1)^3/2+C이다.

마지막으로 미분하여 검산했다.

d/dx [1/3(x²+1)^3/2] = 1/3·3/2(x²+1)^1/2·2x = x√(x²+1)

초기조건이 붙는 문제라면 적분상수도 남겨야 한다. 예를 들어 F′(x)=x√(x²+1), F(0)=2이면

F(x)=1/3(x²+1)^3/2+C
2=1/3+C, 따라서 C=5/3

이므로 F(x)=1/3(x²+1)^3/2+5/3이다. 실제로 F(0)=1/3+5/3=2가 되어 초기조건도 확인된다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제로 치환 조건을 다시 점검했다.

G′(t)=(3t-1)√(3t²-2t+4), G(1)=5

u=3t²-2t+4로 두면 du=(6t-2)dt=2(3t-1)dt이므로

G(t)=1/2∫u^1/2du = 1/3u^3/2+C

이다. G(1)=1/3·5^3/2+C=5에서 C=5-5√5/3을 얻는다. 치환 후 dx 또는 dt를 그대로 남기지 않았고, 미분하면 (3t-1)√(3t²-2t+4)가 다시 나오므로 계수와 초기조건을 함께 검증했다.