양천구고2수학과외, 로그 합·차 변형 전 정의조건부터 확인하기
목동이나 신월동에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는, 로그식을 빠르게 합치는 것보다 그 변형이 성립할 범위를 먼저 남기는 습관이 중요하다. 양천고등학교, 진명여자고등학교, 목동고등학교 등에서 배우는 로그부등식에서도 이 판단이 해의 범위를 결정한다.
진수 조건을 빼고 합친 순간 생긴 가짜 해
풀이 노트에는 다음과 같이 적혀 있었다.
log₂(x-1)+log₂(x+1)>3
log₂(x²-1)>3
x²-1>8
x<-3 또는 x>3
로그의 합을 곱의 로그로 바꾼 것과 밑이 2라서 부등호 방향을 유지한 것은 맞다. 그러나 두 로그가 처음부터 실수로 정의되려면
x-1>0, x+1>0
이어야 하므로 실제 정의조건은 x>1이다. 따라서 x<-3은 허용되지 않는다. 예를 들어 x=-4를 대입하면 log₂(-5)가 되어 원래 식 자체가 정의되지 않는다. 이 문제의 해는 최종적으로 x>3이다.
변형식 옆에 원래 로그의 범위를 남기는 훈련
합·차 변형을 시작하기 전에 여백에 다음 세 줄을 먼저 적는다.
x-1>0, x+1>0
따라서 x>1
log₂((x-1)(x+1))=log₂(x²-1)
그 뒤 밑 2가 1보다 크다는 점을 적용해 x²-1>8을 풀고, 마지막에 반드시 x>1과 교집합을 구한다. 대수적으로 나온 후보를 원래 로그식에 간단히 대입하면 정의되지 않는 해를 즉시 걸러낼 수 있다.
진수가 달라진 로그부등식으로 범위 재현하기
다음 문제에서는 앞의 식을 보지 않고 같은 판단을 처음부터 재현한다.
log₃(x-2)+log₃(x+1)>2
먼저 진수 조건에서 x>2를 기록한다. 밑 3은 1보다 크므로
log₃((x-2)(x+1))>2
x²-x-2>9
x²-x-11>0
방정식 x²-x-11=0의 근은 (1±3√5)/2이므로 부등식의 해는 그 바깥쪽이다. 여기에 정의조건 x>2를 적용하면 최종 답은
x>(1+3√5)/2
가 된다. 마지막 답에 정의조건을 함께 적용하고, 변형 전 로그의 진수가 양수인지 확인했다면 새로운 계수에서도 로그 합 변형의 성립 범위를 스스로 보존한 것이다.