양천구고1수학과외, 인수분해 뒤 부호표로 이차부등식 해 찾기
양천고등학교, 진명여자고등학교, 신목고등학교 등 양천구의 학교 프린트를 풀다 보면 이차부등식을 인수분해한 뒤 마지막 부호표에서 해를 뒤집는 경우가 있다. 목동이나 신월동에서 귀가한 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 정답만 옮기기보다, 근과 구간의 부호가 어떻게 연결되는지 한 줄씩 남기는 연습이 필요하다.
근은 구했지만 해 구간을 반대로 고른 사례
다음 부등식을 살펴보자.
(x-2)(x+3) > 0
두 근은 x=2, x=-3이다. 수직선에 왼쪽부터 -3, 2를 표시하면 구간은 x<-3, -3<x<2, x>2로 나뉜다.
그런데 학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
근: x=-3, 2
부호: + | - | +
해: -3<x<2
부호표 자체는 맞게 적었지만, 마지막 줄에서 음수인 가운데 구간을 선택했다. 주어진 부등식은 0보다 큰 값을 찾는 문제이므로 양수인 바깥 두 구간을 골라야 한다. 따라서 정확한 해는 x<-3 또는 x>2이다.
부호가 바뀌는 지점을 기준으로 표를 완성한다
인수분해된 식의 각 인수는 해당 근을 지날 때 부호가 바뀐다. 예를 들어 x=-4를 대입하면
(-4-2)(-4+3)=(-6)(-1)=6
이므로 x<-3에서 곱은 양수이다. -3과 2 사이의 값으로 x=0을 대입하면
(0-2)(0+3)=(-2)(3)=-6
이고, x=3을 대입하면
(3-2)(3+3)=(1)(6)=6
이다. 따라서 부호는 양수-음수-양수가 된다. 학생이 근 사이와 바깥 구간을 반대로 표시한 것은 근을 잘못 구해서가 아니라, 부호표를 작성한 뒤 부등호의 방향과 맞는 칸을 선택하지 않았기 때문이다.
답을 적기 전 남겨야 할 한 줄
이 유형을 풀 때는 다음 순서를 실제 식 옆에 남긴다.
- 인수분해: (x-2)(x+3)
- 경계값: -3, 2
- 구간별 부호: +, -, +
- 조건 선택: 곱이 0보다 큰 구간
부등호가 > 0이므로 양수 칸만 선택하고, 근에서는 값이 0이 되므로 경계값을 포함하지 않는다. 만약 (x-2)(x+3)≥0이었다면 양수 구간과 두 근을 함께 포함하여 x≤-3 또는 x≥2가 된다. 오답노트에는 긴 해설 대신 “경계값 표시 → 부호표 완성 → 조건에 맞는 칸 선택”이라는 바뀐 행동 한 가지를 기록한다.
기억한 답이 통하지 않는 변형 문제
이전에 본 식의 답을 기억하고 있는지 확인하기 위해 계수와 부등호를 바꾼 문제를 제시한다.
2x²-x-6<0
중간식을 생략하지 않고
2x²-x-6=(2x+3)(x-2)
로 유지한다. 근은 x=-3/2, 2이고, 최고차항의 계수가 양수이므로 부호는 바깥에서 양수, 두 근 사이에서 음수이다. 부등식이 0보다 작으므로 가운데 구간을 선택하며, 해는
-3/2<x<2
이다. 이때 학생이 답만 맞히는지보다, -3/2와 2를 표시하고 가운데 구간의 음수 부호를 스스로 확인하는지를 본다. 계산이 어긋나면 인수분해식, 근, 부호표 중 오류가 시작된 줄을 직접 찾아 고치도록 한다.
짧은 시간에도 확인할 수 있는 풀이 기록
학교에서 받은 미완료 문제를 정리할 때는 새 문제를 많이 펼치기보다, 풀이 중간식이 남아 있는지 먼저 확인한다. 양천중앙도서관에 들른 뒤나 통학 후 남은 시간에는 한 문제라도 근의 순서, 구간 세 개, 부호, 선택 조건을 모두 적어 보는 편이 효과적이다. 마지막 답이 맞았더라도 부호표 없이 답만 다시 썼다면 이차부등식의 해를 선택하는 과정은 아직 확인되지 않은 것으로 본다.