양천구 고3 수학과외에서 부호를 미분으로 되짚는 삼각함수 적분
목동과 신월동에서 방과 후 이동한 뒤 자습 시간을 확보하는 학생은 짧은 풀이에서도 공식의 방향을 정확히 확인해야 한다. 양천고등학교, 진명여자고등학교, 광영여자고등학교, 신목고등학교 등 양천구의 여러 학교 학생을 지도할 때도 학교를 하나의 동일한 통학권으로 묶기보다, 이동 후 남은 시간에 맞춰 풀이와 검산량을 조절한다.
미분 공식과 적분 공식을 거꾸로 적용한 오답
학생은 다음 부정적분을 풀었다.
∫(3cos x - 2sin x) dx
답안 여백에는 다음과 같이 적혀 있었다.
∫cos x dx = -sin x, ∫sin x dx = cos x
∴ ∫(3cos x - 2sin x) dx = -3sin x - 2cos x + C
이 식은 틀렸다. (-sin x)' = -cos x이므로 ∫cos x dx의 원시함수는 -sin x가 아니라 sin x이다. 또한 (cos x)' = -sin x이므로 ∫sin x dx는 -cos x이다.
원시함수의 형태와 상수를 분리하기
삼각함수의 기본 관계를 먼저 미분으로 확인한다.
- (sin x)' = cos x이므로 ∫cos x dx = sin x + C
- (cos x)' = -sin x이므로 ∫sin x dx = -cos x + C
따라서 주어진 식은
∫(3cos x - 2sin x) dx = 3sin x + 2cos x + C
이다. 실제로 미분하면
(3sin x + 2cos x + C)' = 3cos x - 2sin x
가 되어 피적분함수와 일치한다. 학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 각 항을 하나씩 미분한 뒤 부호를 수정했다. 마지막으로 x = 0을 대입해 원시함수의 값이 2 + C임을 확인했지만, 부정적분에서는 특정 값이 주어지지 않았으므로 C를 임의로 0으로 정하지 않았다.
적분상수 조건이 붙을 때의 확인
같은 원리를 적용해
F'(x) = 4cos x + 6sin x, F(π/2) = 5
를 만족하는 F(x)를 구하면
F(x) = 4sin x - 6cos x + C
이다. x = π/2를 대입하면
5 = 4sin(π/2) - 6cos(π/2) + C = 4 + C
이므로 C = 1이다. 따라서
F(x) = 4sin x - 6cos x + 1
이다. 학생은 수정한 식을 다시 미분하고, 경계값 x = π/2를 재대입해 두 조건을 모두 만족하는지 확인했다.
계수를 바꾼 독립 검증
마지막에는 앞의 문제를 반복하지 않고 다음 식을 새로 풀었다.
∫(-5sin x + 7cos x) dx
sin x의 적분에 마이너스가 붙는다는 관계를 적용하면
∫(-5sin x + 7cos x) dx = 5cos x + 7sin x + C
이다. 미분 검산 결과
(5cos x + 7sin x + C)' = -5sin x + 7cos x
로 원래 식과 일치했다. 계수와 부호가 바뀐 문제에서도 학생은 먼저 미분 공식을 확인한 뒤 원시함수의 형태와 적분상수를 나누어 처리했다.