신월동고2수학과외

신월동고2수학과외, 로그 합·차 변형에서 경계값을 놓치지 않는 풀이

광영여자고등학교·광영고등학교·서울금융고등학교의 지필평가와 수행평가 일정은 서로 다를 수 있어, 신월시영아파트와 동방아파트 생활권에서 공부하는 학생도 주간 풀이량과 점검 시점을 학교별로 조정해야 한다. 이때 로그부등식은 익숙한 예제의 계산 순서만 기억하면 계수나 부호가 바뀌는 순간 해의 범위를 빠뜨리기 쉽다.

진수 조건을 생략한 한 줄이 해를 바꾼다

다음 부등식을 풀어 보자.

log₂(x-1)+log₂(x+1)>3

풀이 중 log2(x2-1)>3까지만 적고 곧바로 x2-1>8을 적용하는 경우가 있다. 이 계산 자체는 밑이 2이므로 방향이 맞지만, 로그의 합을 하나로 합치기 전부터 두 진수가 모두 양수여야 한다.

x-1>0, x+1>0이므로 먼저 x>1이다.
log₂((x-1)(x+1))>3
log₂(x²-1)>3

밑 2는 1보다 크므로 부등호 방향이 유지된다.

x²-1>2³
x²>9

x²>9만 보면 x>3 또는 x<-3이지만, 처음 확인한 정의조건 x>1과 동시에 만족해야 한다. 따라서 해는 x>3이다. 경계값 x=3을 원래 식에 넣으면 좌변이 3이 되어 엄격한 부등식도 성립하지 않는다.

잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 놓기

달라진 기호는 계산식이 아니라 첫 줄의 조건이다. 이후에는 밑의 크기를 확인하고, 합은 곱으로 바꾸며, 마지막 해를 처음 조건과 교집합으로 정리한다. 이 세 가지를 답안에 남겨야 직전 예제의 모양만 따라가는 풀이에서 벗어날 수 있다.

계수와 부호가 바뀐 식에서 다시 확인하기

다음 문항에서는 같은 합 공식이 다른 방식으로 나타난다.

2log₃(x-2)-log₃(x+1)≤1

첫 줄에 진수 조건을 적으면 x-2>0, x+1>0이므로 x>2이다. 그다음 로그의 계수와 차를 반영한다.

log₃((x-2)²/(x+1))≤1

x>2에서는 분수의 분모와 분자가 모두 양수이고, 밑 3은 1보다 크다. 따라서

(x-2)²/(x+1)≤3

x²-4x+4≤3x+3
x²-7x+1≤0

근은 (7-√45)/2, (7+√45)/2이고, 포물선이 위로 열리므로 두 근 사이가 해이다. 여기에 x>2를 교집합으로 적용하면

2<x≤(7+3√5)/2

풀이시간을 제한하지 않고 이 문항을 확인할 때는 정답보다 첫 줄을 먼저 본다. x>2를 스스로 적었는지, 계수 2를 제곱으로 옮겼는지, 마이너스 로그를 분모로 옮겼는지, 마지막 구간에서 정의조건을 다시 적용했는지를 차례로 확인한다. 새로운 계수와 부호에서도 진수 조건이 자동으로 등장한다면 로그 합·차 변형을 식의 외형이 아니라 조건과 함께 처리하고 있는 것이다.