신월동 고3수학과외에서 확인한 삼각함수 적분의 계수 오류
신월동에는 광영여자고등학교, 광영고등학교, 서울금융고등학교가 있고, 같은 양천구의 진명여자고등학교와 신목고등학교는 참고 학교로 구분된다. 신월시영아파트와 동방아파트 생활권에서도 학생마다 학교 일정과 주간 학습 시간이 달라, 풀이 과정의 작은 누락이 누적되지 않도록 답안의 식을 직접 점검했다.
각의 내부가 바뀌면 반드시 계수를 확인한다
학생은 다음 조건을 이전에 풀던 부정적분 순서와 같은 방식으로 처리했다.
f'(x)=cos 2x, f(0)=3
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
f(x)=sin 2x+C
f(0)=3이므로 C=3
따라서 f(x)=sin 2x+3
이 식은 오답이다. 실제로 미분하면
f'(x)=2cos 2x
가 되어 주어진 f'(x)=cos 2x와 다르다. 안쪽 함수 2x를 미분할 때 2가 생기므로, 부정적분에서는 그 역수인 1/2을 곱해야 한다.
정확한 풀이식은
∫cos 2x dx = 1/2 sin 2x+C
이다. 초기조건을 대입하면
f(0)=1/2 sin 0+C=C=3
이므로
f(x)=1/2 sin 2x+3
이다. 다시 미분하면
f'(x)=1/2·2cos 2x=cos 2x
가 되어 원래 조건을 만족한다.
오류 줄을 표시하고 조건을 표로 분리하기
풀이 중 학생이 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 먼저 변수와 조건을 나누어 적도록 했다.
- 변수 범위: x는 실수
- 미분 조건: f'(x)=cos 2x
- 초기조건: f(0)=3
- 후보식: 1/2 sin 2x+C
그다음 후보값이나 조건을 한 번에 넘기지 않고 다음처럼 확인했다.
- x=0을 대입하면 C=3
- 완성된 식을 미분하면 cos 2x인지 확인
- 잘못된 식 sin 2x+3은 미분 결과가 2cos 2x이므로 제외
초기조건을 만족하는 함수가 존재하는지 묻는 문제라면, 조건이 서로 맞지 않는 경우도 따로 표시해야 한다. 예를 들어 같은 미분조건과 f(0)=3에서 f(π/4)=2를 요구하면
f(π/4)=1/2 sin(π/2)+3=7/2
이므로 2가 될 수 없다. 이때는 계산 실수가 아니라 주어진 조건을 모두 만족하는 해가 없다고 판단해야 한다.
초기조건의 위치를 바꾼 독립 검증
마지막에는 초기조건의 위치를 바꾼 새 문제로 확인했다.
g'(x)=cos 2x, g(π/6)=2일 때 g(π/3)의 값을 구하여라.
먼저
g(x)=1/2 sin 2x+C
이고, x=π/6을 대입하면
2=1/2 sin(π/3)+C=√3/4+C
이므로 C=2-√3/4이다. 따라서
g(π/3)=1/2 sin(2π/3)+2-√3/4
=√3/4+2-√3/4=2
이번에는 초기조건의 위치가 달라졌지만, 안쪽 계수 2의 역수인 1/2을 먼저 반영한 뒤 조건을 대입해 오류 없이 검산했다.