신월동고1수학과외, 중근 때문에 한 점만 제외되는 이차부등식
신월동의 광영여자고등학교, 광영고등학교, 서울금융고등학교처럼 학교별 주간 일정이 다르면 학교 프린트에서 다룬 이차부등식의 풀이 흔적도 달라질 수 있다. 신월시영아파트나 동방아파트 생활권에서 귀가 후 짧게 복습할 때는 부호표를 외우기보다 중근이 실제로 몇 개인지 확인하는 과정이 필요하다.
±가 두 개의 해를 뜻하지 않는 장면
예를 들어 다음 부등식을 풀어 보자.
(x-4)2 > 0
학생은 제곱근을 이용하는 과정에서 x-4=±0이라고 적은 뒤, 답을 x=4 또는 x=4처럼 두 개의 해로 기록했다. 그러나 +0과 -0은 모두 0이므로 실제 값은 하나뿐이다. 방정식 (x-4)2=0의 해는 x=4 하나이며, 이를 중근이라고 부른다.
부등식의 해는 중근 자체를 포함하는가
(x-4)2>0에서는 제곱값이 0보다 커야 한다. 제곱값이 0이 되는 유일한 지점은 x=4이므로 그 점만 제외한다.
x<4 또는 x>4
반대로 부등호가 ≥라면 중근에서 식의 값이 0이 되는 것을 허용한다.
(x-4)2≥0의 해는 모든 실수이다. 따라서 ± 기호가 보였다는 이유만으로 해를 두 개 적을 것이 아니라, 두 계산 결과가 같은지 먼저 비교하고 부등호가 등호를 포함하는지도 확인해야 한다.
오답표에 빠진 확인 단계를 풀이에 넣기
이 학생의 현재 상태는 이차부등식의 부호 변화보다 먼저 중근의 개수를 판별해야 한다는 절차가 빠진 상태다. 풀이 옆에 다음 표시를 추가한다.
- 근의 공식이나 제곱근 계산 뒤에 나온 두 값을 실제로 비교한다.
- +0과 -0처럼 같은 값이면 하나의 중근으로 합친다.
- 중근에서 원래 식의 값이 0인지 대입한다.
- 부등호가 >인지 ≥인지에 따라 그 점의 포함 여부를 결정한다.
예를 들어 (2x+6)2>0에서는 2x+6=0이므로 중근은 x=-3 하나다. 따라서 해는 x≠-3, 즉 x<-3 또는 x>-3이다. 학생이 답을 쓰기 전에 두 결과가 같은 값인지 확인하고 이 과정을 먼저 시작했다면, 누락된 중근 확인 행동이 회복된 것으로 볼 수 있다.
그래프에서 한 점만 빠지는 이유를 말로 확인하기
식 y=(x-4)2의 그래프는 꼭짓점 (4,0)에서 x축에 한 번만 닿는다. 이 점에서는 y=0이고, 나머지 x에서는 y>0이다. 따라서 y>0을 만족하는 x의 범위에서는 x=4만 제외된다.
좌표를 바꾼 y=(x+2)2 그래프를 제시했을 때도 꼭짓점이 (-2,0)이라는 사실과, 부등식 y>0에서 x=-2만 제외된다는 점을 설명하는지 확인한다. 그래프의 모양을 그대로 외우는 대신, 어느 x에서 y값이 0이 되는지 말할 수 있어야 한다.
복습을 끝내는 기준
광영고등학교나 광영여자고등학교의 프린트 복습 시간이 짧은 날에는 문제를 많이 푸는 대신, 계수를 바꾼 (3x-9)2>0을 사용한다. 중근이 x=3 하나임을 확인하고 답을 x≠3으로 정리한 뒤, 그래프에서는 (3,0)만 x축 위의 점임을 설명하면 된다.
이 과정을 학생이 스스로 설명한 뒤 복습을 계속할지 끝낼지를 직접 정하게 한다. 같은 유형의 풀이를 베껴 맞힌 것이 아니라, 새로운 좌표와 계수에서도 중근 하나와 제외되는 점을 찾아냈는지가 확인 기준이다.