목동고2수학과외

로그를 합친 뒤에도 진수 조건은 남는다

목동역과 목동1·2단지 주변에서 학교와 과제 일정을 함께 소화하는 고2 학생의 풀이를 살펴보면, 로그부등식에서 계산보다 먼저 무너지는 줄이 있다. 목동고2수학과외에서도 자주 확인되는 장면은 로그의 합을 곱으로 바꾸면서 진수 조건을 답안에서 지워 버리는 경우다.

정답 수정부터 하려다 빠진 조건

문제는 다음과 같다.

log₂(x-1)+log₂(x+1)>3

풀이 중 학생은 로그를 합친 뒤

log₂(x²-1)>3

이라고 적고, 밑이 2보다 크므로

x²-1>8

에서 x<-3 또는 x>3을 얻었다. 그러나 이 답은 그대로 사용할 수 없다. 원래 식의 로그가 정의되려면

x-1>0,   x+1>0

이어야 하므로 공통 조건은 x>1이다. 따라서 x<-3은 원래 식에 대입할 수 없는 후보이며, 최종 해는 x>3이다.

합 공식보다 먼저 답안에 남겨야 할 한 줄

로그의 합을 변형할 때는 다음처럼 조건과 계산을 같은 풀이 안에 남긴다.

x-1>0, x+1>0 → x>1

log₂((x-1)(x+1))>3

(x-1)(x+1)>2³   (밑 2는 1보다 크므로 부등호 방향 유지)

x²>9 → x<-3 또는 x>3

마지막에 x>1과 겹치는 범위만 남겨 x>3으로 정리한다. 진수 조건은 로그를 합치는 순간 사라지는 조건이 아니라, 변형한 결과를 원래 식에 적용할 수 있는지를 판단하는 기준이다.

답 x>3에서 풀이를 거꾸로 복원하기

다른 문제에서는 답만 x>3으로 제시하고, 왜 그런 결론이 가능한지 학생이 역으로 복원하게 한다. 먼저 x>3이면 두 진수 x-1, x+1이 모두 양수임을 확인한다. 이어서

(x-1)(x+1)=x²-1>8

이므로

log₂(x²-1)>3

가 성립하고, 이는 두 로그의 합으로 되돌릴 수 있다. 반대로 x=-4를 대입하면 x-1=-5이므로 원래 로그식은 정의되지 않는다. 정답의 범위뿐 아니라 진수 조건과 밑에 따른 부등호 판단까지 복원해야 풀이가 완성된다.