목동고3수학과외

목동 고3 수학과외에서 적분 오답의 첫 줄 찾기

목동역과 목동1단지·목동2단지 주변에서 통학하며 과제와 시험 준비를 병행하는 고3 학생은 짧은 오답 복기 시간에도 풀이의 출발 조건을 정확히 확인해야 한다. 진명여자고등학교, 강서고등학교, 한가람고등학교, 양정고등학교가 있는 목동 생활권에서는 이동 뒤 바로 문제를 풀 때 계산만 반복하기 쉽다. 이 학생도 삼각함수 부정적분에서 틀린 줄을 찾지 않고 같은 풀이를 다시 쓰는 습관이 있었다.

부호가 바뀐 최초의 계산

학생이 다음 문제를 풀었다.

함수 F(x)가 F'(x)=2x+sin x, F(0)=3을 만족할 때 F(π)를 구하여라.

답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

오답: F(x)=x²+cos x+C

여기서 ∫sin x dx=-cos x이므로 +cos x라고 쓴 첫 줄부터 틀렸다. 실제로 위 식을 미분하면 F'(x)=2x-sin x가 되어 주어진 도함수 2x+sin x와 다르다. 또한 초기조건을 적용하지 않은 채 적분상수 C만 남겨 둔 것도 누락된 단계다.

조건을 표시한 뒤 식을 다시 세우기

• 틀린 줄 표시: ∫sin x dx=+cos x에 밑줄을 긋는다.
• 변수 관계 확인: (cos x)'=-sin x이므로 ∫sin x dx=-cos x이다.
• 식 수정: F(x)=x²-cos x+C로 다시 쓴다.
• 초기조건 대입: F(0)=0-1+C=3이므로 C=4이다.

따라서 F(x)=x²-cos x+4이고,

F(π)=π²-cos π+4=π²+5

이다. 마지막으로 미분하여 F'(x)=2x+sin x를 확인하고, F(0)=3도 다시 대입한다. 적분상수는 계산 뒤 임의로 붙이는 기호가 아니라 초기조건으로 결정되는 값이라는 점을 함께 확인한다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 문제로 풀이 구조를 점검했다.

G'(x)=3x-2sin x, G(π/2)=1일 때 G(0)을 구하여라.

이번에는 ∫(3x-2sin x)dx=3x²/2+2cos x+C로 적분한다. x=π/2를 대입하면 3π²/8+2+C=1이므로 C=-1-3π²/8이다. 따라서

G(0)=2-1-3π²/8=1-3π²/8

이다. 학생은 해설을 보지 않고 사인 적분의 부호, 초기조건의 대입 위치, 마지막 미분을 차례로 확인하며 잘못된 후보인 3x²/2-2cos x+C를 직접 제거했다.