목동고1수학과외, 두 근 사이와 바깥쪽 부호를 최고차항으로 판단하기
목동역과 목동1단지·2단지 주변에서 학교 과제와 이동 시간을 함께 관리해야 하는 고1 학생에게는, 이차부등식의 풀이 순서를 짧은 시간 안에 스스로 정하는 연습이 필요하다. 특히 근 하나만 구한 뒤 부호표를 끝내면 답의 범위가 달라진다.
근 하나로 멈춘 풀이에서 생긴 문제
학교 프린트의 다음 식을 살펴보자.
2x²+x-6=0
한 학생은 근의 공식에서
x=(-1±√49)/4=(-1±7)/4
까지 적은 뒤, x=3/2만 계산하고 다른 근을 확인하지 않았다. 그러나 ±는 두 경우를 모두 뜻하므로
x=(-1+7)/4=3/2, x=(-1-7)/4=-2
이다. 두 값을 원래 방정식에 대입하면
- x=3/2일 때 2×(3/2)²+3/2-6=0
- x=-2일 때 2×(-2)²+(-2)-6=0
두 값 모두 근이다. 첫 번째 근만 남기면 이차식의 부호가 바뀌는 두 경계 중 하나를 없애게 된다.
두 근이 정해지면 가운데와 바깥의 부호가 갈린다
이제 이차식 2x²+x-6의 부호를 보자. 두 근의 순서는 -2<3/2이고, 최고차항의 계수는 2로 양수다. 따라서 수직선에서 양 끝 바깥쪽은 양수, 두 근 사이는 음수가 된다.
- x<-2 또는 x>3/2: 2x²+x-6>0
- -2<x<3/2: 2x²+x-6<0
- x=-2 또는 x=3/2: 이차식의 값은 0
예를 들어 부등식 2x²+x-6≤0의 해는 두 근을 포함하는 가운데 구간이므로 -2≤x≤3/2이다. 근 하나만 알고 있으면 이 구간의 양 끝을 정할 수 없다.
부호표를 그리기 전에 실제로 바꾼 풀이 행동
이 학생에게는 풀이 첫 줄에 긴 설명을 쓰게 하기보다, 근의 공식에서 ±를 분리해 두 줄로 계산하게 했다. 이어서 구한 두 수를 작은 순서로 배열하고, 최고차항 계수의 부호를 확인한 뒤 수직선의 세 구간에 부호를 배치했다.
최고차항 계수가 양수인 경우에는 양 끝이 양수이고 가운데가 음수라는 구조를 사용한다. 반대로 -2x²- x+6처럼 최고차항 계수가 음수이면 부호가 뒤집혀 양 끝이 음수, 두 근 사이는 양수가 된다. 이는 임의로 외우는 표가 아니라 양끝에서 x의 크기가 매우 커질 때 이차항의 부호가 전체 식을 결정한다는 관계에서 나온다.
대입 확인이 빠지면 아직 재확인 대상이다
계산 결과가 맞더라도 두 근을 원래 식에 각각 넣는 과정이 빠졌다면 풀이를 끝내지 않는다. 예를 들어 근의 공식에서 제곱근 계산이나 분모 처리를 잘못하면 한 값만 우연히 맞을 수 있기 때문이다. 2x²+x-6에서는 x=-2와 x=3/2를 각각 대입해 모두 0이 되는지 확인한 뒤에야 부호 구간을 정한다.
시간을 줄인 새 문제에서 순서를 스스로 정하는지
짧은 계산 세트에는 다음 부등식을 제시했다.
-3x²+7x+6≥0
이번에는 풀이 순서를 알려주지 않는다. 학생이 먼저 근의 공식으로
x=(-7±√121)/(-6)
을 계산하여 x=3, x=-2/3을 얻고, 원래 식에 두 값을 대입하는지 확인한다. 최고차항 계수가 음수이므로 두 근의 바깥쪽은 음수, 그 사이인 -2/3≤x≤3에서 식은 0 이상이다.
숫자와 부호가 바뀌어도 학생이 먼저 두 근을 모두 찾고, 대입으로 확인한 뒤, 최고차항의 부호를 이용해 가운데와 바깥을 구분한다면 새로운 조건에서도 같은 성질을 찾아낸 것으로 본다.