양주고2수학과외

양주고2수학과외에서 짚는 귀납법 부등식의 증명 누락

양주 지역에서는 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 옥정동·덕정동·덕계동 등 생활권에 따른 평일 귀가 시간이 서로 다를 수 있다. 그래서 긴 풀이를 무작정 반복하기보다, 부등식 증명에서 어느 계산 줄부터 논리가 끊겼는지를 찾아 바로 이어 푸는 연습이 필요하다.

등호가 나온 뒤 추가항을 확인해야 하는 문제

다음 명제를 수학적 귀납법으로 증명한다고 하자.

모든 자연수 n≥4에 대하여 n²≤2ⁿ이다.

n=4에서는

4²=16=2⁴

이므로 성립한다. 이제 어떤 k≥4에서 k²≤2^k라고 가정하면, 다음 항은

(k+1)²=k²+2k+1

로 전개된다. 여기서 학생이

k²+2k+1<2^k

라고 적었다면, 귀납 가정 k²≤2^k만 사용하고 추가된 2k+1을 처리하지 않은 것이다. k²≤2^k라고 해서 k²+2k+1≤2^k가 되는 것은 아니다. 오른쪽에도 그만큼의 여유가 필요한지 확인해야 한다.

오류가 시작된 줄에서 다시 이어 가기

처음부터 풀이를 베껴 쓰는 대신, 오류가 발생한 전개식에서 멈추고 추가항의 부호와 크기를 표시한다.

k≥4이므로 k²≥2k+1이고, 귀납 가정에 따라 k²≤2^k이다. 따라서

2k+1≤k²≤2^k

를 얻는다. 그러므로

(k+1)²=k²+2k+1≤2^k+2^k=2^k+1

이다. 이처럼 추가항 2k+1이 양수라는 사실만 보는 데서 끝나지 않고, 그것이 2^k 이하라는 조건까지 연결해야 다음 부등호가 정당해진다.

짧아진 식에서도 조건을 생략하지 않는지 확인하기

계산량을 줄인 다음 문제로 풀이 순서를 점검한다.

n≥3일 때 n²+2n+1≤2ⁿ⁺¹임을 증명하라.

좌변은 (n+1)²이므로, n=3에서 16≤16을 확인한 뒤 n²≤2ⁿ을 가정한다. 이때 n≥3이므로 n²≥2n+1이고,

n²+2n+1≤2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹

로 마무리해야 한다. 식을 짧게 만들었더라도 귀납 가정, 추가항의 범위, 다음 항의 지수를 순서대로 직접 남겼는지 확인한다.